Материал: 5510

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

М.Ф. Тиунчик, Е.О. Старкова, С.В. Тонконог

Математический анализ

Числовые ряды

Хабаровск 2011

ББК В Т 45

Тиунчик М. Ф. Математический анализ. Числовые ряды : учеб. пособие / М. Ф. Тиунчик, Е. О. Старкова, С. В. Тонконог. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2011. – 72 с.

Содержание учебного пособия соответствует государственным образовательным стандартам дисциплины «Математический анализ» по изучению раздела «Числовые и функциональные ряды». Для выполнения индивидуальных заданий по данной тематике можно использовать методическую разработку авторов [8].

Пособие предназначено для бакалаврантов и магистрантов по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Торговое дело», «Сервис», «Туризм», «Государственное и муниципальное управление», «Товароведение», «Прикладная информатика».

Рецензенты: А. И. Ивлева, канд. физ.-мат. наук, доцент Хабаровского пограничного института Федеральной службы Российской Федерации; Е. В. Карачанская, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ТОГУ

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия

Тиунчик М.Ф, Старкова Е.О., Тонконог С.В., 2011 Хабаровская государственная академия экономики и права, 2011

2

Введение

Числовые и функциональные ряды – один из важных разделов дисциплины «Математический анализ». Теория рядов основана на знании двух других разделов этой дисциплины – дифференциального и интегрального исчислений. Общей же базой при изучении всех трёх разделов является теория пределов.

Изучение теории рядов студентами экономических направлений и специальностей необходимо в связи с её применением при решении важнейших задач не только в самом математическом анализе (приближённые вычисления значений функций и интегралов с достаточной степенью точности) и в дифференциальных уравнениях (их интегрирование с помощью рядов), но и в различных экономико-математических дисциплинах (временные ряды).

Данное учебное пособие посвящено только изучению числовых рядов. Изучение функциональных рядов планируется в отдельном издании. Материал содержит как общие положения теории числовых рядов, так и вопросы, связанные с положительными и знакопеременными рядами. По всем темам имеются подробные теоретические сведения в основном с их доказательством. Напоминаются основные понятия из теории пределов, при необходимости читатель может обратиться, например, к учебному пособию [4].

Теоретический материал сопровождается рассмотрением разнообразных примеров для каждой определённой ситуации. Изложение материала ведётся на доступном, по-возможности строгом языке. В конце каждого раздела приведён набор задач для аудиторной и самостоятельной работы, а также список теоретических вопросов для самоконтроля.

Нумерация пунктов, теорем, определений, замечаний, примеров и формул в теоретической части – сплошная; отдельная нумерация – в упражнениях и вопросах для самопроверки к каждой изучаемой теме. При ссылках указывается номер соответствующего пункта, теоремы, определения, замечания, примера.

Пособие рассчитано на студентов очной и заочной форм обучения. Студент может считать материал усвоенным, если сможет выполнять

предложенные упражнения и отвечать на вопросы для самоконтроля. Настоящее учебное пособие может быть использовано для всех эко-

номических направлений и специальностей, так как в нём отражены все вопросы, предусмотренные по данному разделу соответствующими государственными стандартами. Кроме того, студенты бакалавриата по направлению «Менеджмент» по профилю «Управление проектами» могут пользоваться данным пособием для более подробного изучения данной темы. Данное пособие может быть рекомендовано преподавателям для подготовки к лекционным и практическим занятиям.

3

1 Основные понятия

До сих пор в основном рассматривались алгебраические суммы, состоящие из конечного числа слагаемых, являющихся действительными (вещественными) числами или функциями одной действительной пере-

ствительной переменной x и называемая многочленом (полиномом) степе-

ни n 0 или целой рациональной функцией.

Как известно, в первом примере эта сумма есть число

4

стоянное положительное число, называемое постоянной Эйлера ( c 0,577215 ). Последнее равенство показывает лишь, что с возрастанием n сумма Sn растёт, как ln n .

В различных приложениях математического анализа сталкиваются с выражениями, содержащими бесконечное число слагаемых. Например, с выражением, слагаемые которого являются членами бесконечной геометрической прогрессии. Такие выражения называются рядами: числовыми, если членами являются действительные числа; функциональными, если членами являются функции действительной переменной. Такого рода ряды и изучаются в настоящем пособии. Отметим, что применяются и ряды, членами которых являются комплексные числа или функции комплексной переменной.

Итак, рассмотрим бесконечную числовую последовательность (или

членами (элементами) которой являются действительные числа. Это означает, что каждому номеру n (числу из множества N , n, } натуральных чисел) поставлено в соответствие одно и только одно действительное число un , называемое n -м членом последовательности (5). Можно сказать, что последовательность есть функция натурального аргумента (областью определения всегда является множество N ). Правило (закон) f соответствия может быть различным для разных аргументов n .

Часто встречающейся является ситуация, когда un зависит от n по одному

Поясним сказанное примерами. Рассмотрим заданные общими членами следующие последовательности:

5