Материал: 5510

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1)un	n ,	2) un n2 , 3) un		1		, 4) un		( 1)n 1	, 5)	un ( 1)n 1,
1)un	n ,	2) un n2 , 3) un			n	, 4) un		n	, 5)	un ( 1)n 1,
					n			n
6) un	1 ( 1)n 1 , 7)		1 (	1)n		1	.
			un
			un	n
				n

В развёрнутом виде эти последовательности таковы:

1)1, 2, 3, 4, 5, , n, ; 2)1, 4, 9, 16, 25, , n2 , ; 3)1, 12 , 13 , 14 , 15 , , 1n , ;


4)1,		1		,		1	,		1	,	1		,		,		(		1)n	1	,	;
4)1,		2		,	3		,		4	,	5		,		,				n		,	;
		2			3				4		5								n
5)1, 1,1,							1,1,					, (			1)n				1,	;
6)	2, 0, 2, 0, 2, 0,													,1		(			1)n	1,		;
7)	2, 0,		2		, 0,			2	, 0,			2		,		,		1	(	1)n		1	, .
7)	2, 0,		3		, 0,			5	, 0,			7		,		,				n			, .
			3					5				7								n

Таким образом, все члены приведённых в примерах последовательностей получались из единого аналитического выражения – формулы общего члена.

Рассмотрим ещё два примера конкретно заданных последовательностей:

1)1, 12 , 13 , 14 , 25, 36, 49, 64, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ; 2) 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, .

Для первой последовательности по закономерности расположения её членов можно предположить, что

	1			при	1	n	4,

		n

un	n		2	при	5	n	8,

	3n			при	n	9.

Таким образом, эта последовательность для различных номеров n задаётся различными аналитическими формулами. Вторая последовательность не имеет аналитического выражения для нахождения по номеру n её членов,

это	есть последовательность так называемых простых чисел (простое чис-
ло	– это натуральное число	p 1,	имеющее	только два делителя –
1 и само p ).
	Определение 1. Выражение вида
	u1 u2	u3	un	(6)

(в краткой записи un ), состоящее из суммы членов бесконечной число-

n 1

вой последовательности (5), называется числовым рядом (или просто

рядом).

Элементы un , из которых образовано выражение (6), называют чле-

нами данного ряда.

В основном будут изучаться ряды, когда n -й член un задаётся для всех n единой аналитической формулой. Тогда un называют общим членом ряда. Ряд будет считаться заданным, если будет указана формула его общего члена un .

Пример 1. Ряд с общим членом un					1				имеет вид

						n(n	1)
						n(n	1)
1	1		1		1					.

1 2	2	3	3 4		n(n		1)
1 2	2	3	3 4		n(n		1)
Пример 2. Числовой ряд с общим членом un										1	называется гармо-
Пример 2. Числовой ряд с общим членом un										n	называется гармо-
										n
ническим и имеет вид
1	1	1	1					1	.
1									.
	2	3		n		n	1 n

Каждый член этого ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних его членов. Число c называется средним гармоническим чисел a и b , если выполняется равенство

S1, S2 ,

, Sn ,

									1	1		1				1	.
																	.
									c	2		a				b
					( 1)n 1					1					1				1			( 1)n 1
Пример 3.																											.
Пример 3.																											.
		n 1 n2 (n 2) 12 3 22																4 32 5				n2 (n 2)
Определение 2. Сумма первых n																	членов ряда (6) называется n-й
частичной суммой ряда и обозначается через Sn , т.е.
								Sn	u1		u2								un .				(7)
Пример 4.			Найдём первые три частичные суммы ряда																				1					.
																							n 1
																							n 1			n(n 1)
Так как согласно (7)
			S1			u1, S2			u1		u2 , S3								u1 u2	u3 ,
то в данном примере
S	1		1	, S			1			1			2	, S					1	1	1			3	.
S				, S		2								, S				3							.
1	1 2	2				2	1 2			2 3		3						3	1 2	2 3	3 4		4
	1 2	2					1 2			2 3		3							1 2	2 3	3 4		4

Очевидно, что с увеличением n частичные суммы (7) расширяются до формального ряда (6). Поскольку сложение бесконечного множества чисел не определено, то естественно будет назвать суммой ряда (6) предел последовательности

(8)

его частичных сумм. Известно, что любая числовая последовательность либо сходится (имеет конечный предел), либо расходится (имеет пределом или вообще не имеет никакого предела – ни конечного, ни бесконечного).

Определение 3. Если существует конечный предел S lim Sn по-

следовательности (8) частичных сумм ряда (6), то этот предел называют

суммой этого ряда (при этом записывают S		un ) и говорят, что ряд
	n	1
сходится. Если lim Sn	или вообще не существует, то ряд называется
n

расходящимся.

Если lim Sn										, то условно пишут															un						;	соответственно
			n																					n	1
																								n	1
un		, если lim Sn													.
n 1						n
n 1
Пример 5. Исследуем ряд n																				1			. Так как для всех n справед-

																			1 n(n			1)
ливо равенство				1						1					1		, то

					n n		1				n		n		1
Sn	1			1			1								1							1	1		1			1				1	1

	1 2 2 3 3 4														n(n 1)								2		2 3							3 4
	1 2 2 3 3 4														n(n 1)								2		2 3							3 4
										1		1						1				1		1	1				.

								n		1				n					n		n	1				n		1
Тогда	lim Sn				lim		1			1						1, т.е. ряд сходится; его сумма равна 1.

											n	1
	n				n						n	1
Пример					6. Докажем,											что			ряд				n	расходится.									Согласно		(1)
																						n 1
Sn 1			n		(n 1)n				. Следовательно,													lim Sn					lim			n(n			1)	.
Sn 1			n	2					. Следовательно,													lim Sn					lim							.
				2																		n				n					2
Это и означает, что данный ряд расходится. Можно считать, что																																		n	.
																																		n 1
Пример 7. Исследуем ряд 1																		1		1		1			( 1)n 1									( 1)n 1 .
																																	n	1
Последовательность его частичных сумм такова:
		S1		1, S2			0, S3							1, S4				0,				, S2n 1				1, S2n					0, .

Очевидно, что она не имеет предела. Данный ряд расходится.

Примерами 6 – 7 проиллюстрированы все три возможных ситуации определения 3.

Одной из задач теории рядов является установление их сходимости (или расходимости). Для этого в дальнейшем будут приведены признаки, с помощью которых (не прибегая к вычислению предела последовательно-

сти частичных сумм) удаётся установить, сходится данный ряд или расходится. Другой задачей является нахождение точной суммы ряда, если он сходится. Отыскание точной суммы сходящегося ряда является трудной задачей, которая решается только в отдельных (частных) случаях (см. пример 5). Однако сумму сходящегося ряда всегда можно найти приближённо, увеличивая число слагаемых в частичной сумме (7).

2 Арифметический, геометрический и гармонический ряды

Рассмотрим ряд

a (n 1)d ,

(9)

n 1

членами которого являются члены арифметической прогрессии. Его можно назвать числовым арифметическим рядом. Из (1) следует, что

lim Sn	. Следовательно, ряд (9) расходится.
n
Геометрический ряд – это ряд вида
a	aq aq2	aqn 1	aqn 1 a 0, q 0 ,	(10)
		n	1

составленный из членов геометрической прогрессии. Сумма первых n членов геометрической прогрессии при q 1 находится по формуле (2). Предел этой суммы преобразуем к виду

		a 1	qn		a		qn
lim Sn	lim					a lim		.
lim Sn	lim					a lim		.
n	n	1	q	1 q		n	1 q

Возможны следующие случаи в зависимости от величины q :

Если

1, то qn

0 при n

. Поэтому S

lim Sn

1 q

ряд (10)

сходится.

1, то qn

при n

. Поэтому S

lim Sn

Если

и ряд

(10) расходится.

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
01. История науки, формы бактерий, простая окраска
08. Стресс
1
1 курс 2 семестр. Культурология. Цыгоняева Александра Юрьевна. Опроделеения из лекций для проверочных работ
1179
12. Dignity
1200
1284
1292