Материал: 5510

Тогда на основании свойства 3 ряд (55) сходится (при этом его сумма рав-

на 2 19 ). Согласно теореме 10 будет сходиться и ряд (54). Из равенства (53)

находится его сумма:

знаку Лейбница сходится (см. пример 31), в то время как ряд из модулей

ранее, расходится (см. пункт 2 и пример 28).

Таким образом, признак Коши есть достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, но не необходимый. Это значит, что существуют такие знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из модулей их членов, расходятся. Только что и был приведён пример такого ряда. В связи с этим для знакопеременных рядов вводятся понятия условной и абсолютной сходимости.

Определение 8. Если сходится не только данный знакопеременный ряд (47), но и ряд (48) из модулей членов исходного ряда, то ряд (47) называется абсолютно сходящимся. Если же сам ряд (47) сходится, а ряд (48) расходится, то знакопеременный ряд (47) называется условно или неабсо-

лютно сходящимся рядом.

Замечание 21. С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 10 (признак Коши) можно сформулировать следующим образом: всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Абсолютно сходящимися рядами являются знакопеременные ряды из примеров 35 и 36.

61

ный из модулей членов исходного ряда (56), представляет собой обобщен-

щий ряд (48) строго положителен ( un 0 для всех n ). Для таких знакопе-

ременных рядов справедлив аналог предельного признака Даламбера. Именно: пусть существует конечный предел

дится, а это и значит, что ряд (47) сходится абсолютно.

Пусть теперь D 1. Тогда ряд (48) расходится, но из его расходимости нельзя сделать никакого вывода о поведении исходного ряда (47). Однако его расходимость в этом случае можно доказать непосредственно без

62

ших n абсолютные величины членов ряда (47) будут возрастать и, следовательно, члены ряда не будут стремиться к нулю. Ряд расходится в связи с тем, что не выполнено необходимое условие его сходимости.

Пример 38. Исследуем знакочередующийся ряд

Так как непосредственная проверка условий теоремы Лейбница является

ся, причём абсолютно.

В заключение приведём без доказательства некоторые свойства знакопеременных рядов.

63

Важнейшим свойством суммы конечного числа действительных чисел является переместительное свойство, которое означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Возникает вопрос, будет ли справедливо это свойство для бесконечной суммы, т.е. для ряда.

Теорема 11. Ряд, полученный из абсолютно сходящегося ряда путём любой перестановки членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема утверждает, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают. В учебниках имеются примеры таких условно сходящихся рядов, сумма которых при некоторой перестановке членов меняется. Более того, имеет место следующая теорема Римана.

Теорема 12. Если ряд (47) сходится условно, то посредством перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую заранее заданную сумму, а также расходящийся ряд.

Доказательство двух последних теорем выходит за рамки данного учебного пособия. Читатель может обратиться к дополнительной литературе.

9Упражнения и вопросы для самопроверки

1.Выяснить, какие из следующих рядов являются рядами лейбницевского типа:

64

3. Найти, сколько членов соответствующего ряда надо оставить в его частичной сумме, чтобы сума ряда была вычислена с указанной точностью :

4. Выясните, какие из данных знакопеременных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:

65