Материал: 5510

25.Для каких рядов можно применять признак Маклорена – Коши?

26.Какого типа интегралы используются в интегральном признаке?

27.Укажите те , при которых обобщённый гармонический ряд сходится, и те , при которых он расходится.

8 Знакопеременные ряды

Определение 6. Числовой ряд, содержащий бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов, расположенных в совершенно произвольном порядке, называется знакопеременным.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, к изучению которых сначала и приступим.

Определение 7. Знакочередующимся называется ряд, любые два соседних члена которого являются числами противоположных знаков.

Последнее определение означает, что любой знакочередующийся ряд может быть записан в одном из следующих видов:

где все un 0 .

Для таких рядов Лейбницем был установлен очень простой достаточный признак их сходимости. Сформулируем и докажем его для ряда (40).

Теорема 9 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (40) монотонно убывают по абсолютной величине ( un 1 un для всех n ) и стремятся к нулю ( un 0 при n ), то ряд сходится.

51

Доказательство. Согласно определению 3 нужно доказать, что

ках этой суммы положительны. Следовательно, сама эта сумма положительна S2m 0 . С возрастанием номера m эта сумма увеличится, т.к. добавится ещё одно положительное слагаемое. Теперь эту сумму запишем так:

S2m u1 u2 u3 u4 u5 u2m 2 u2m 1 u2m .

В этой записи все выражения в скобках положительны и u2m 0 . Таким

частичных сумм ряда возрастает и ограничена сверху. По признаку существования предела монотонной последовательности она имеет конечный предел, который обозначим S :

52

Ряд (41) получается из ряда (40) умножением его на 1 . Тогда при

также сходится.

Знакочередующиеся ряды (40) и (41) при выполнении двух условий

лейбницевского типа. Как только что было установлено, любой ряд лейбницевского типа сходится.

ляется рядом лейбницевского типа и, следовательно, сходится. Знакочере-

Замечание 15. Ни одно из условий признака Лейбница нельзя отбро-

сить. Если lim un 0 , то общие члены рядов (40) и (41) не будут стре-

n

миться к нулю. Будет нарушено необходимое условие сходимости числового ряда (см. пункт 3); такой ряд будет расходиться. Нельзя отбросить и условие монотонности ( un 1 un для всех n ). Действительно, рассмотрим знакочередующийся ряд

было установлено, что последовательность S2m чётных частичных сумм,

возрастая, приближается к сумме S этого ряда. Последовательность S2m 1 нечётных частичных сумм, убывая, будет сходиться к S . Действительно,

S1 u1, S3 u1 u2 u3 , S5 u1 u2 u3 u4 u5 , … и так как каж-

53

Неравенства (42) означают следующее: если ряд (40) есть ряд лейбницевского типа, то чётные частичные суммы S2m являются приближениями к сумме S ряда с недостатком, а нечётные суммы S2m 1 – с избытком. Это свойство проиллюстрировано ниже на рисунке для первого ряда из примера 31.

На рисунке изображены только шесть первых частичных сумм этого ряда;

ные – возрастая. Доказательство этого факта рекомендуем провести читателю, а геометрическую иллюстрацию сделать для второго ряда из примера 31 (см. замечание 16).

Замечание 19. Если ряд (41) лейбницевского типа, то его сумма от-

где u1 – модуль первого члена соответствующего ряда (см. определение 7). Неравенство (45) следует из неравенств (43) и (44).

54

Всё сказанное можно выразить иначе: сумма любого ряда лейбницевского типа имеет тот же знак, что и первый член ряда, а по абсолютной величине меньше его модуля.

Это свойство таких рядов позволяет достаточно просто вычислять приближённо их суммы с помощью приближения частичными суммами (напомним, что сумма ряда есть предел частичной суммы). Значение S будет найдено таким образом тем точнее, чем больше номер частичной суммы Sn . При этом с помощью неравенства (45) можно дать и оценку точности (погрешности) такого приближённого вычисления. Поясним сказанное более подробно.

В силу равенства (17) абсолютная величина получаемой при этом погрешности S Sn равна rn , где rn – сумма остатка ряда после n -го члена. Остаток же ряда лейбницевского типа имеет один из следующих видов:

un 1 un 2 ,

т.е. является знакочередующимся рядом Лейбница вида (40) или (41). Знак первого члена остатка зависит от того, будет номер n чётным или нечётным. В случае ряда (40) при чётном n знак остатка будет положительным, а при нечётном – отрицательным (для ряда (41) – наоборот). Так как к остатку применимо замечание 20, то для суммы остатка имеет место неравенство

Последнее неравенство позволяет оценить ошибку приближённого равенства S Sn .

Сказанное можно сформулировать так: ошибка, совершаемая при замене суммы S ряда Лейбница некоторой его частичной суммой Sn , имеет тот же знак, что и первый отброшенный член, а по абсолютной величине меньше его модуля (знак поправки вычисления совпадает со знаком этого члена).

Замечания 16 и 18 позволяют выяснить, будет ли при этом сумма вычислена с избытком или с недостатком.

55