Материал: 5510

Пример 32. Рассмотрим первый из примера 31 сходящийся знакочередующийся ряд лейбницевского типа. Его n -я частичная сумма

малой погрешности при отбрасывании остатка ряда номер n должен быть большим). Возьмём теперь конкретные чётные и нечётные номера n .

56

Часто задают точность , с которой нужно приближённо вычислить сумму ряда лейбницевского типа. Тогда нужно найти, сколько должно быть членов ряда в его частичной сумме Sn . В силу (46) это число нахо-

вить в частичной сумме, чтобы сумма ряда была вычислена с точностью до 0,01. Очевидно, что этот ряд сходится, т.к. является рядом лейбницевского

вычисления суммы ряда с точностью до 0,01 достаточно ограничиться суммой первых четырёх его членов, т.е. вычислить S4 . Решение примера завершено. Отметим ещё следующее: погрешность при этом будет поло-

57

Не следует думать, что сходятся только знакочередующиеся ряды лейбницевского типа. Примером сходящегося знакочередующегося ряда, не являющегося рядом Лейбница, является ряд

(его сходимость будет установлена в дальнейшем, см. пример 36).

До сих пор изучался частный случай знакопеременного ряда – знакочередующийся ряд. Перейдём теперь к изучению произвольных знакопеременных рядов.

Пусть

есть произвольный знакопеременный ряд (см. определение 6). В отличие от рассмотренных знакочередующихся рядов символом un снова обозначается n -й член ряда, а не его абсолютная величина. Одновременно с рядом (47) рассмотрим положительный ряд

составленный из модулей членов ряда (47).

Теорема 10 (теорема Коши). Из сходимости ряда (48) следует сходимость ряда (47).

Доказательство. Рассмотрим в отдельности положительные члены ряда (47) и абсолютные величины его отрицательных членов, при этом для них введём обозначения bk и cm . Перенумеруем bk и cm в том порядке, в котором они встречаются в ряде (47). Теперь составим два положительных

58

Через Sn и Sn обозначим, соответственно, частичные суммы рядов (47) и

(48). Через Bk и Cm обозначим те частичные суммы рядов (49) и (50), ин-

(50) сходятся (отметим, что S

Перейдём теперь к пределу в равенстве (51). Только что было установлено существование конечных пределов величин, стоящих справа. Сле-

Эта теорема даёт возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. В этих случаях вопрос о сходимости знакопеременного ряда сведётся к исследованию соответствующего положительного ряда. Для положительных рядов имеется ряд признаков их сходимости, изу-

где x – любое число. Наряду с этим рядом рассмотрим следующий ряд из

59

ся и исходный ряд.

При доказательстве теоремы 10 было установлено полезное утверждение (53): при условии сходимости ряда (48) сумма знакопеременного ряда (47) равна разности между суммой ряда (49), составленного из одних положительных членов данного ряда, и суммой ряда (50), составленного из абсолютных величин отрицательных членов ряда (47).

Пример 36. Исследуем упоминавшийся ранее ряд

который не является рядом Лейбница. Из модулей его членов составим положительный ряд

который можно рассматривать как сумму двух следующих рядов:

Это утверждение основано на переместительном свойстве сходящихся рядов (читателю рекомендуем обратиться к дополнительной литературе, т.к. в данном пособии это свойство положительных рядов не изучалось). Свойство означает, что в положительных сходящихся рядах можно менять местами члены и это не влияет ни на сходимость ряда, ни на величину его суммы. Последние два ряда являются геометрическими (см. пункт 2). Оба ряда сходятся, а их суммы вычисляются по формуле (11). Для первого ряда:

для второго ряда:

60