Материал: 5510

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	3) Пусть		q		1.Тогда					при			q 1						ряд		(10)		примет			вид
a a	a		. Для него Sn								n	a и			S			lim Sn				, т.е. ряд (10) рас-
																	n
ходится. При q				1	ряд		(10)			примет				вид				a		a	a	a	.	Для		него
Sn	0 при чётном n и Sn							a при нечётном n . Следовательно,																lim Sn не
																								n
существует; ряд (10) расходится.

	Можно сделать вывод, что геометрический ряд сходится при																								q	1 и

расходится при		q		1.
	Пример 8. Найти сумму ряда
			2	3	1 2	3		1	2		3	1				2			3	1		.
			2		1 2		3		2		32					2				3n		.
							3				32									3n
Ряд относится к виду (10), где a												23 и q					1		. Т.к. q			1, то сумма ряда
Ряд относится к виду (10), где a												23 и q							. Т.к. q			1, то сумма ряда
																3
					S		a				23			8				24		12.
					S				1 1					2						12.
					1		q		1 1					2	3				2
												3			3

В связи с введением суммы ряда всякое действительное число x , представленное в виде бесконечной десятичной дроби

x a0 ,a1a2 an ,

можно понимать как сумму ряда

a0		a1		a2		an	,
	10		102		10n

частичными суммами которого являются десятичные приближения

Sn 1	a		a1		a2		an
		10		102		10n

этого числа x по недостатку.

Сказанное позволит представлять в виде обыкновенных дробей бесконечные десятичные периодические дроби. При этом будет применена формула

S	a		q	1	(11)


		q
1

нахождения суммы S геометрического ряда. Поясним это на примере.

			Пример 9. Представить в виде обыкновенной дроби следующие бес-
конечные десятичные периодические дроби:1)																														0, 7 ; 2) 0,0 35 ; 3) 0,2 35 ;
4) 4, 25 .
			Число 0, 7						0,777						можно записать в виде геометрического ряда
											7		7						7										7

											10		100						1000									10n
с первым членом a											7	и		q				1			. По формуле (11) его сумма равна числу
с первым членом a									10			и		q			10				. По формуле (11) его сумма равна числу
									10								10
	0,7			7		. Следовательно,							0, 7									7	.
1		0,1		9		. Следовательно,							0, 7						9				.
1		0,1		9															9
			Число 0,0 35						0,0353535													запишется в виде геометрического ряда
													35						35							35

													103						105							107
с первым членом a											35		и знаменателем q																		1			. В силу формулы (11)
с первым членом a											103		и знаменателем q																	102				. В силу формулы (11)
											103																			102
получим
												S							35										35			.
												S	10					3	1					1					990			.
																		3											990

																								102
																								102
Таким образом, 0,0 35												35				.
Таким образом, 0,0 35																.
											990
			Число 0,2 35						0,23535										записывается в виде ряда
													2						35							35			,

													10						103						105
													10						103						105
отбросив							первый			член							которого										получим								геометрический ряд
	a		35		, q			1	с суммой								35				. Тогда 0,2 35												2			35		233	.
	a	103			, q		102		с суммой								990				. Тогда 0,2 35									10					990		990		.
		103					102										990													10					990		990
			Число 4, 25						4,252525											записывается в виде ряда
											4, 25							4	25							25				,

																			102							104
																			102							104


в скобках которого стоит геометрический ряд с a						25		и q		1	. Тогда
в скобках которого стоит геометрический ряд с a					102			и q	102		. Тогда
					102				102
4, 25	4	0,25	4	25	421		.
4, 25	4		4				.
	1	0,01		99	99

Предоставляем читателю сформулировать самостоятельно правило обращения бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Исследуем теперь на сходимость ряд

(12)

n 1 n

упоминавшийся уже в примере 2 и названный гармоническим.

Так как его n -я частичная сумма (3)

представима в виде (4) (при

этом lim

0 ), то lim Sn

lim

ln n c

и, следовательно,

n n

этот ряд расходится. Ввиду того, что доказательство равенства (4) трудное, приведём более простое доказательство расходимости ряда (12).

Сначала получим некоторое вспомогательное неравенство. Так как

S2n	1		1	1			1		1				1			,

			2	3				n	n	1					2n
			2	3				n	n	1					2n
		Sn		1	1			1		1			,

					2			3			n
					2			3			n
то разность S2n Sn имеет вид
		S2n		Sn			1						1	.
		S2n		Sn		n	1							.
						n	1					2n

Заменив в этом равенстве, содержащем n слагаемых, каждое слагаемое

наименьшим, равным

, получим вспомогательное неравенство

S2n

или

S2n

Предположим противное, т.е. что гармонический ряд сходится. Тогда

lim Sn	lim S2n S . Переходя	к	пределу в последнем неравенстве,
n	n
получим, что
	S S	1	или 0	1	.
	S S	2	или 0	2	.
		2		2

Получили противоречие. Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.

Ряд вида

1	1	1	1	1		,	(13)

n 1 n		2	3		n

где – любое вещественное число, называется обобщённым гармониче-

ским рядом. Он сходится при	1, расходится при	1. Это будет
установлено в дальнейшем. При	1 ряд (13) является гармоническим и,
следовательно, расходится.

3 Необходимый признак сходимости ряда

Выясним, есть ли что-нибудь общее у сходящихся рядов, заданных своим общим членом. Оказывается, что общий член сходящегося ряда с возрастанием номера n стремится к нулю.

Теорема 1. Если ряд (6) сходится, то

		lim un	0 .		(14)
		n
Доказательство. Так как ряд (6) по условию теоремы сходится, то
lim Sn	S . Очевидно, что	lim Sn 1	S	( Sn 1 пробегает ту же последо-
n	n
вательность чисел, что и Sn ).		Так как
	Sn u1	un 1	un	Sn 1	un ,
то при n	1 имеем равенство
		un Sn	Sn 1 .
Переходя в этом равенстве к пределу, получим

lim un	lim Sn	lim Sn 1 S S 0 ,
n	n	n

что и требовалось доказать.

Обратная теорема к теореме 1, вообще говоря, неверна. Условие (14) есть лишь необходимое условие сходимости ряда, но не является достаточным. Из того, что выполняется (14), не следует, что ряд сходится. При выполнении условия (14) ряд может как сходиться, так и расходиться.

Примером	расходящегося ряда, для которого выполнено условие (14),
является	рассмотренный в предыдущем пункте гармонический ряд
(12) (очевидно, что lim un		lim	1	0 ).
			n
	n	n

У сходящихся рядов, рассмотренных ранее, необходимое условие их сходимости было выполнено.

С другой стороны, если условие (14) не выполнено ( lim un 0 или

этот предел не существует), то ряд расходится.

К расходящимся рядам относятся, например, ряды со следующими

общими членами: un				n , un					n2 , un				, un						n		1		,			1)n 1.
											n								n		1			un (
											n													un (
																					n
При	0 обобщённый гармонический ряд (13) расходится, так как
при любых таких		его общий член un											1		не стремится к нулю.

												n
												n
Рассмотрим		обобщённый гармонический																				ряд		(13)		при		1	,
Рассмотрим		обобщённый гармонический																				ряд		(13)		при	2		,
																											2
т.е. ряд
					1			1	1	1							1				.


		n	1			n			2	3								n
		n	1			n			2	3								n
Необходимое условие (14) выполнено, т.к.														lim			1					0		. Для его n -й			ча-



														n						n
стичной суммы, начиная со второй, выполняется неравенство
			1				1		1				1								1
	Sn		1				1		1				1			n					1				n ,


			1				2		3					n								n
			1				2		3					n								n

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
01. История науки, формы бактерий, простая окраска
08. Стресс
1
1 курс 2 семестр. Культурология. Цыгоняева Александра Юрьевна. Опроделеения из лекций для проверочных работ
1179
12. Dignity
1200
1284
1292