Материал: 5510

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

где Sm* an 1	an	m есть m -я частичная сумма ряда (14). Следова-
тельно, справедливо равенство
		Sm*	Sn	m	Sn .				(16)
Так как ряд (6) сходится, что lim Sn				m	S ; слагаемое Sn				в (16) с увели-
		m
чением m не меняется		lim Sn	Sn	. Тогда		Sm* при m			имеет ко-
		m
нечный предел, который обозначим				r	r	lim S*		. Таким образом,
				n	n	m	m
						m

ряд (15) сходится. Кроме того, после перехода в формуле (16) к пределу

при m	получим для суммы rn	остатка равенство
	rn	S	Sn .			(17)
2. Теперь пусть известно, что сходится остаток (15). Докажем, что
сходится и исходный ряд (6). Зафиксируем в равенстве
	Sn m	Sn	Sm*			(18)
( Sn m	и Sn – соответствующие частичные суммы исходного ряда (6))
номер n и перейдём к пределу при m			. Так как ряд (15) сходится, то
lim S* существует (этот предел обозначен r ). Величина				S	n	при фикси-
m	m		n		n
m

рованном номере n остаётся постоянной. Следовательно, существует предел величины Sn m при m ; ряд (6) сходится. При этом для его суммы верно равенство

S Sn rn ,

(19)

получающееся из (18) путём предельного перехода. Заметим, что последнее равенство равносильно полученному ранее равенству (17). Свойство доказано.

Замечание 2. Равенство (19) означает, что сумма всякого сходящегося ряда может быть получена сложением какой-либо частичной суммы этого ряда и суммы соответствующего остатка.

Замечание 3. Из равенства (18) следует, что если ряд расходится, то расходится его остаток и, наоборот, если расходится остаток, то расходится и ряд.

Замечание 4. Свойство 5 можно сформулировать иными словами: отбрасывание конечного числа первых членов ряда или добавление в начале ряда нескольких новых членов не влияет на поведение ряда в смысле его сходимости (расходимости). Конечно, добавление или отбрасывание

членов ряда влияет на сумму ряда.
	Свойство 6. Для того чтобы ряд (6) сходился, необходимо и доста-
точно, чтобы при n			остаток (15) стремился к нулю, т.е. чтобы выпол-
нялось условие
			lim rn 0 .			(20)
			n
	Доказательство. Если ряд (6) сходится, то				lim Sn	S . Переходя к
				n
пределу в равенстве (17), получим lim rn				lim	S Sn	S lim Sn
			n	n		n
S	S 0. Необходимость условия (20) установлена.
	Теперь	пусть	выполнено условие	(20).	Тогда	согласно (17)
lim	S Sn	0 . Это значит, что величина S		Sn	бесконечно мала и, сле-
n
довательно,		lim Sn	S . Согласно определению 3 ряд (6) сходится.
	n

5Упражнения и вопросы для самопроверки

1.По данным первым членам ряда найти одну из возможных формул общего члена каждого из следующих рядов:

1.1)	1		1		1			1		;
1.1)	3	5		7			9			;
	3	5		7			9
1.3) 1		1		1			1		1	;

		2		4			8		16
		2		4			8		16
1.5)	1		3			5		7		;
1.5)	2	4		6			8			;
	2	4		6			8

1.7)	1	1	1	1	;
		2	3	4

1.2)	2			22			23			24			;
1.2)	2		1 2			1 2		3	1 2		3	4	;
			1 2			1 2		3	1 2		3	4
1.4)	1		1		1		1	1			;

			4		9		16	25
			4		9		16	25
1.6)	1				1			1			;

	2				2	3	3	4
	2				2	3	3	4
1.8)		1			1	1		.
1.8)	2!		4!			6!		.
	2!		4!			6!

2. Написать первые пять членов нижеприведённых рядов:

			n										2	3		n
2.1)			n		;						2.2)						;


	n	1 n		1								n	1	3n
	n	1 n		1								n	1	3n
2.3)			n			;					2.4)			1						;

	n	1 n2			1							n	1 n	ln n 1
2.5)			n!	;							2.6)			1 n			1	.
		1 n2

	n											n	1		n
		3. Найти частичную сумму S4 рядов:
3.1)		3				;		3.2)		n	;					3.3)				1			;

	n	1 2n			1				n 1 2n										n	1 n n		1
3.4)			1 n n 2				;	3.5)		1	;					3.6)					1 n	1		.
									n 1 2n													1
	n 1 3n2					1													n 1 n2
	n 1 3n2					1													n 1 n2

4. На основании определения суммы ряда вычислить сумму каждого из следующих рядов:

4.1)			1		;	4.2)				1			;

	n	1 n n		3			n	1 n	2		n	3
4.3)			1		;	4.4)			2n		1	;

	n	1 4n2		1			n 1 n2 n				3 2
4.5)		1	;			4.6)		1		;

	n	1 2n					n 1 3n		1
			1	n	1				3	n	1
4.7)					;	4.8)					.
4.7)	n	1	2		;	4.8)	n	1	5		.
			2						5

5. На основании определения 3 доказать расходимость следующих рядов:

5.1)		2n ;				5.2)		2n		1;
	n	1					n	1
5.3)			1 n ;			5.4)		1		1 n	;
	n	1					n	1
5.5)		2 3n 1 ;				5.6)		5	2n ;
	n	1					n	1
5.7)			1		;	5.8)				1			.


	n	1	n 1	n			n	1	n	2		n

6. С помощью формулы для нахождения суммы сходящегося геометрического ряда и на основании свойств рядов представить в виде обыкновенной дроби следующие бесконечные десятичные периодические дроби:

6.1)	0, 5 ;				6.2)	0,5 7		;			6.3)	3, 27 ;
6.4) 15,2 3 ;					6.5) 10,24 13 ;						6.6)	25,4 135 .
		7. Найти точные значения выражений:
7.1)		0, 3	;		7.2)		0,1 2	;			7.3)		24,2 5	;
7.1)	0, 5		;		7.2)	0,4 5		;			7.3)	12,1 3		;
	0, 5					0,4 5						12,1 3
7.4)		0,1 2	0,4 5	;	7.5)		2,3 4		3,2 1	.
7.4)	0,2 3		0,3 4	;	7.5)	4,2 3			2,2 1	.
	0,2 3		0,3 4			4,2 3			2,2 1

8. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости, и указать, какие из рядов заведомо расходятся:

8.1)		1					;							8.2)	1			;	8.3)	ln n	;
8.1)							;							8.2)				;	8.3)		;
n 1 n n														n 1 n 2			n		n 1	n
8.4)		1			;									8.5)		1 n	n ;		8.6)	n	2	;
8.4)	1 n n				;									8.5)		1 n	n ;		8.6)	n3		;
n	1 n n													n	1				n 1	n3
8.7)			1 n ;											8.8)		n	;		8.9)	1			;
8.7)			1 n ;											8.8)			;		8.9)				;
n 1														n 1 n 1					n 1 2n		1
8.10)	1		3						5			7		;
8.10)	2	2		2		2				3		2	4	;
	2			2						3			4

8.11) 1		2				3				4			;

		3				5				7
		3				5				7
8.12)	2		4					6			8			.
8.12)	1!	2!				3!				4!				.
	1!	2!				3!				4!

9. Найти суммы следующих рядов на основании их свойств:

			2n			3n
9.1)							;
9.1)	n	1		5n			;
	n	1		5n
9.3)		1	1			1		1		1

		2	3			4		9		8
		2	3			4		9		8
9.4)	1		1			1		1	1	1

						2		3	4	9
						2		3	4	9
9.5) 1		2			3	1		1	1	1

						2		4	8	16
						2		4	8	16

9.2)	1	2n	;
	n 1	4n

1	;

27
27
1	1	;

8	27
8	27


	10.		Докажите, что ряды с общими членами un			n 2	n 1 и
					un vn сходится.
vn		n	1	n расходятся, а ряд	un vn сходится.

11.Что называется числовым рядом? Как записываются числовые

ряды?

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
01. История науки, формы бактерий, простая окраска
08. Стресс
1
1 курс 2 семестр. Культурология. Цыгоняева Александра Юрьевна. Опроделеения из лекций для проверочных работ
1179
12. Dignity
1200
1284
1292