Материал: 5510

12.Что называется частичной суммой числового ряда?

13.Что называется суммой ряда?

14.Какой ряд называется сходящимся?

15.Каким равенством связана n -я частичная сумма сходящегося ряда с суммой ряда?

16.Какой ряд называется расходящимся?

n1

18.Какой ряд называется геометрическим?

19.При каком знаменателе q сходится ряд, составленный из геомет-

рической прогрессии с общим членом a qn 1 ?

20. Запишите формулу для суммы сходящегося геометрического

ряда.

21.Когда геометрический ряд расходится?

22.Какой ряд называется гармоническим? Сходится ли гармонический ряд?

23.Какой ряд называется обобщённым гармоническим рядом?

24.Назовите необходимые признаки сходимости ряда.

25.Укажите, какие из следующих утверждений являются верными:

1)если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю;

2)если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится;

3)если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится;

4)если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю;

5)если ряд расходится, то его общий член может стремиться к нулю;

6)если ряд расходится, то его общий член может не стремиться к нулю;

7)если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может как сходиться , так и расходиться.

26.Стремится ли к нулю общий член гармонического ряда?

27.При каких обобщённый гармонический ряд заведомо расходится?

26

28.Единственна ли сумма сходящегося ряда?

29.Как определяется произведение ряда на число?

30.Может ли сходиться произведение расходящегося ряда на число?

31.Как определяются сумма и разность рядов? Какие утверждения можно сформулировать для суммы и разности двух рядов?

32.Можно ли из двух расходящихся рядов составить ряд (сумму), который бы сходился?

33.В чём состоит свойство сочетательности (ассоциативности) сходящегося ряда?

34.Можно ли объединением членов расходящегося ряда добиться, чтобы новый ряд сходился?

35.Пусть в членах сходящегося ряда имеются скобки. Всегда ли можно их опустить, не нарушая сходимости ряда?

36.Что называется остатком ряда?

37.Какова связь между сходимостью ряда и сходимостью его

остатка?

38.К чему стремится остаток сходящегося ряда?

39.Что можно сказать о ряде, остаток которого стремится к нулю?

40.Как сумма остатка сходящегося ряда связана с суммой ряда и его n -й частичной суммой?

41.Может ли сходиться остаток расходящегося ряда?

42.Может ли сходиться ряд, остаток которого расходится?

43.Пусть некоторый ряд сходится; отбросим у него несколько первых членов или добавим несколько членов к первому члену. Будут ли сходиться новые ряды? Что можно сказать об их суммах?

27

6 Положительные ряды

Определение 5. Числовой ряд, все члены которого неотрицательны,

Такие ряды точнее было бы называть рядами с неотрицательными членами. В данном параграфе будем заниматься установлением сходимости или расходимости подобных рядов. Их изучение облегчит и изучение рядов любого знака. В частности, ряды с неположительными членами ( un 0 ) путём умножения на 1 переходят в ряды с неотрицательными членами и, следовательно, можно будет сделать выводы и об их сходимости.

Сейчас будет приведён критерий (необходимый и достаточный при-

знак) сходимости положительных рядов. Он основан на определении 3 и

свойствах сходящихся последовательностей.

Теорема 2. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы Sn были ограничены сверху.

Доказательство. 1. Необходимость признака. Если ряд сходится, то

существует конечный предел S lim Sn (см. определение 3). Всякая же

n

сходящаяся последовательность Sn ограничена (это есть теорема из теории пределов последовательностей). Необходимость установлена. Заметим, что ограниченность снизу частичных сумм Sn очевидна; в силу (21)

имеем, что Sn 0 .

2. Достаточность признака. Дано, что частичные суммы положитель-

т.е. последовательность Sn частичных сумм положительного ряда есть неубывающая последовательность. В теории монотонных последовательностей имеется утверждение: всякая неубывающая ограниченная сверху по-

28

следовательность сходится, т.е. существует конечный предел последовательности Sn . Согласно определению 3 ряд является сходящимся. Достаточность установлена.

Замечание 5. Так как всякая сходящаяся последовательность ограничена, то у всякого сходящегося ряда (6) последовательность Sn его частичных сумм (в силу определения 3) будет ограниченной. Это условие, также являющееся необходимым условием сходимости любого ряда, не является достаточным (оно достаточно только для положительных рядов).

Замечание 6 и теорема 2 приводят к выводу: положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной S в противном случае.

Приведённый критерий мало удобен при исследовании на сходимость конкретных положительных рядов, так как трудно устанавливать ограниченность сверху последовательности частичных сумм. Однако он будет применён в дальнейших теоретических рассуждениях. На его основе будут выведены некоторые достаточные условия (признаки) сходимости. К ним, прежде всего, относятся так называемые признаки сравнения.

29

Тогда из сходимости ряда (23) следует сходимость ряда (22) (то есть, если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами); из расходимости ряда (22) следует расходимость ряда (23) (то есть, если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами также расходится).

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (22) и (23), со-

ответственно, через Sn(1) и Sn(2) . Из определения 2 n -й частичной суммы ряда и неравенства (24) следует неравенство

Sn(1) Sn(2) .

Пусть ряд (23) сходится; тогда по теореме 2 его частичные суммы ограни-

чены сверху: Sn(2) M (необходимое условие). В силу предыдущего нера-

венства получим, что и Sn(1) M , откуда снова по теореме 2 (достаточное условие) следует сходимость ряда (22).

Вторая часть утверждения этой теоремы есть следствие первой. В самом деле, если бы ряд (23) сходился, то согласно первому утверждению сходился бы и ряд (22), что противоречит предположению о его расходи-

мости. Это же утверждение вытекает и из неравенства Sn(1) Sn(2) (более детальное рассуждение предоставляем читателю).

Замечание 7. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (см. свойство 5 и замечание 4), то утверждение теоремы 3 остаётся верным при условии, что неравенство (24) выполнено не для всех номеров n , а лишь начиная с некоторого номера N .

При решении конкретных примеров с помощью теоремы 3 надо проводить сравнение с рядами, о сходимости (расходимости) которых уже известно. Например, можно сравнивать исследуемый ряд с гармоническим рядом (12) или с каким-нибудь положительным геометрическим рядом

(10).

1

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд n 1 2 3n .

30