Документ: 5510, страницы 36-40 | Студенческое хранилище

Если D 1, то, взяв	D 1,	получим, что D			1. Тогда для
n N будет выполнено неравенство		un 1	1	(см. (28)). По теореме 5 ряд
n N будет выполнено неравенство		un	1	(см. (28)). По теореме 5 ряд
		un

расходится.

Покажем, что при D 1 ряд может как сходиться, так и расходиться. Приведём по этому случаю примеры. Так, для гармонического ряда

un

1

имеем, что

n

D

lim

1

n

1

lim

n

1.

1 n

n

1

n

Рассмотрим теперь ряд с общим членом un

1

. И в этом случае D 1:

n2

D

lim

1

n

1

2

lim

n2

1.

1 n2

1 2

n

Но гармонический ряд расходится, а ряд

1

сходится (см. пример 18).

n 1 n2

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ря-

да содержит выражения видов an , n! 12 3 n .

2n

Пример 23. Исследуем ряд

n 1

. Известно, что

n!

lim un

lim

2n

0 ,

n!

n

т.е. необходимое условие сходимости ряда

выполнено.

Найдём D

согласно (29):

2n 1

2n

2n 1

n!

2

0 .

D

lim

:

lim

n 1 ! 2n

n

n 1 ! n!

n

n 1

Так как D 0

1, то данный ряд по теореме 6 сходится.

36

Пример 24. Исследуем на сходимость ряд

4n n!

. Найдём

D :

nn

n 1

4n 1 n 1 !

4n

n!

n

4

D

lim

:

4 lim

.

n 1 n 1

nn

n 1

e

n

Так как D

4

1, то данный ряд расходится.

e

Теорема 7 ( признак Коши). Пусть для ряда (22) для всех

n или

начиная с некоторого номера N выполнено условие

n un

q

1.

(30)

Тогда ряд сходится. Если же для всех n или, по крайней мере, с некоторого номера справедливо неравенство


n u	n	1 ,	(31)
	n
то ряд (22) расходится.
Доказательство. Неравенство		(30) равносильно	неравенству

un qn , а (31) – неравенству un 1. Сравнение надо проводить со сходя-

щимся рядом	qn q 1	и расходящимся рядом	1. Если неравенства
n	1	n	1
выполняются для всех n ,		то утверждения следуют из признака сравнения

(теорема 3). Если эти неравенства выполняются только начиная с некоторого номера, то надо воспользоваться замечанием 7. В случае (31), равносильном неравенству un 1, расходимость ряда (22) следует и из того, что нарушено необходимое условие сходимости (14). Теорема доказана.

Замечание 9. Как и в теореме 5, неравенство (30) нельзя заменить на

неравенство n un 1. Действительно,

для гармонического ряда для всех

n

1

n 2

имеет место неравенство

un

1, но гармонический ряд

n

1

n

расходится.

При решении примеров, как и в случае признака Даламбера, обычно применяют другую (предельную) форму признака.

37

Теорема 8 (предельный, или радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда (22) существует предел


lim n u	n	K .	(32)
n	n
n

Тогда

1)при K 1 ряд сходится;

2)при K 1 ряд расходится;

3)при K 1 возможны как сходимость, так и расходимость ряда. Доказательство. На основании определения предела последователь-

ности условие (32) означает следующее: для любого 0 найдётся такой номер N , что для всех n N будут выполнены неравенства

K nun K .

Далее доказательство такое же, как и в случае доказательства теоремы 6 – предельного признака Даламбера. При K 1 или K 1 выводы следуют из теоремы 7. То, что в случае K 1 признак не даёт возможности судить о поведении ряда, можно проверить на тех же двух примерах (гармонического ряда и обобщённого гармонического ряда с 2 ), указанных при изучении предельного признака Даламбера. Для этого надо установить, что

lim	n	1	1 и lim n	1	1.
		n		n2
n			n

Вычислим только первый из этих пределов, так как второй получится из первого на основании равенства

n

1

n

1

n

1

n2

n

n .

Для вычисления первого предела (неопределённость вида 00 ) рас-

1x

смотрим выражение y

1

x

1

с непрерывной переменной

x 0 .

x

Прологарифмируем это выражение и докажем, что lim

ln x

1

0.

Дей-

x

38

ствительно,

lim ln x

1

lim

1

ln1

ln x

lim

ln x

. Для вычисления

x

последнего предела (неопределённость

) применим правило Лопиталя:

lim

ln x

lim

1x

0 .

x

1

x

Так как lim

ln x

1

0, то

lim x

1

e0

1. Теорема доказана.

x

3n

Пример 25. Исследуем на сходимость ряд n

1

. Так как

nn

3n

3

K

lim

n u

n

lim n

lim

0

1,

nn

n

то этот ряд сходится.

1

n2

Пример 26. Исследуем ряд

1

. Так как

n 1

n

1

n2

1

n

K

lim

n 1

lim

1

e

1,

n

то данный ряд расходится.

Сделаем несколько замечаний по поводу признаков Даламбера и

Коши.
Замечание 10. Случаи D	1 или K 1 (ряд расходится) фактически
сводятся к тому, что lim un	0 , т.е. не выполнено необходимое условие
n

сходимости ряда (проверьте это на примерах 24 и 26). Но иногда проще

вычислить D или K , чем находить предел lim un (это видно на примерах
		n
24 и 26).
Рассмотрим ещё один, достаточно простой пример. Покажем, что ряд
	nn
с общим членом un		расходится. Методом математической индукции

	n!

можно установить, что для всех n выполняется неравенство nn n!. Тогда

39

un	nn	1 и, следовательно, lim un 0 ; ряд расходится. Этот вывод
	n!
		n

намного быстрее можно получить с помощью предельного признака Даламбера. Действительно

un 1

n 1 n 1 n!

n 1

n

D

lim

e

1.

un

n 1 ! nn

n

Так как D

1, то ряд расходится.

Замечание 11. В то же время с помощью признаков Даламбера и

Коши можно доказать, что

lim un

0 , если это равенство не очевидно.

n

Докажем, например, что

lim

an

0

при любом a

0 . Для этого рассмот-

n!

n

рим положительный ряд с общим членом un

an

a

0 Вычислим D

n!

по формуле (29):

D lim

an

1 n!

lim

a

0

1.

1 ! an

n

1

n

Согласно теореме 6 данный ряд сходится. Тогда по теореме 1

lim un 0 ,

n

т.е. lim

an

0 a

0 .

n!

n

Замечание 12. Строго положительный ряд будет расходиться и в том

случае, если

lim

un

1

.

(33)

un

n

Действительно, условие (33) означает, что

un

1

есть бесконечно большая

un

величина. Тогда для любого E

0 (в частности, для E

1) найдётся

такой

номер

N , что для всех

n

N

будет выполняться неравенство

un

1

1.

un

Остаётся обратиться к теореме 5 (см. (28)); при этом и общий член ряда не стремится к нулю.

40

Материал: 5510

Смотрите также: