Материал: 4576

2 z

z

9x

8

2

4 72x

7

2

y

y

,

x

2

x

x

x

2 z

z

9x

8

y

2

4 18x

8

y

,

y x

y

x

y

2 z

z

2x9 y 2 2x9 ,

y

2

y

y

y

2 z

z

2x9 y 2 18x8 y .

x y

x

y

x

z

2x ln y ,

z

x2

.

y

x

y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

z

2x ln y

2ln y ,

2

x

x

x

x

2 z

z

2x ln y

2x

,

y x

y

x

y

y

2 z

z

x2

2x

,

x y

y

x

x

y

y

2 z

z

x2

x2

y

.

2

y

y

2

y

y

y

Задание 3. Исследовать на экстремум функцию z 4x2 4xy 2y2

8x 2y 1.

Вычислим частные производные первого порядка

z 8x 4 y 8,

z 4x 4 y 2

x

y

и приравняем их к нулю:

8x 4 y 8 0

4 y 2 0.

4x

Решая систему уравнений, находим стационарную точку

x

3

,

y 1. Чтобы

2

3

определить, действительно ли точка

; 1 является точкой экстремума, найдѐм

2

2 z

2 z

2 z

2

3

Так как величина

2

2

в точке

; 1

положительна:

x

y

x y

2

2 z

8

3

3

точка

Так как

x

2

положительна в точке

; 1

, то точка

; 1

2

2

минимума.

Найдѐм

значение

функции

в

этой

3

3 2

3

1 2

1

2

3

2 1 1 4

точке: zmin

z

;

1

4

4

8

2

2

2

2

4.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание

1. Изобразить

область определения

D(z) функции двух переменных

z f (x; y) .

x

z

x y .

1.1.

1.6.

z ln

.

y

1.2.

z ln(xy) .

1.7.

z

4 x2

y2

9 .

z x

z

9 x2 y2 .

1.3.

1.8.

sin y .

z

y2

25 .

1.4.

z

x 3y2 .

1.9.

x2

1

1.5.

z

.

1.10.

z 4 x

y2

1 .

x y

2.1.

а)

z 5x3 y2

7xy

y4 x5

;

б)

z ln x2

y3 .

2

2.2.

а)

z 3x4 y2

2xy

y3 x3

;

б)

z arcsin 3x2 y4 .

5

2.3.

а)

z 5x2 y y3

x

xy4 ;

б)

z arctg

x

.

3

y

2.4.

а)

z 4xy3

x y5

2y x4 ;

б)

z sin 2x 3y .

19

z 4x3 3x2 y y3 7 ;

x

2.5.

а)

б)

z cos

ey .

y

2.6.

а)

z 3xy5 2y4 x5 78 ;

б)

z e3x2 y3 .

2.7.

а)

z 3x3 y2

2xy

y5

x4 ;

б)

z ln x3

y2 .

3

2.8.

а)

z 2x2 y4

5xy

y2

x3 ;

б)

z arccos 4x3 y4 .

3

z sin3 3x 2 y .

2.9.

а)

z 3x3 y x5

y y6 x ;

б)

z 4x2 2xy2 y3 8;

z arcsin e2 x

.

2.10.

а)

б)

5y

5.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Вычислить интеграл

x5 x

x 2

dx .

x

Преобразуем подынтегральную функцию:

1

x5 x

x 2

2

x4 x 2

.

x

x

5

1

1

x

x x

2

x4 x

2

dx =

4dx

dx

Тогда

dx =

2

x

x

2

dx 2

==

x

x

x

3

x5

x 2

2 ln

x

C .

5

3

2

20

Пример 2.

Вычислить интеграл

x 3 5 x2 dx .

Делаем замену 5 x2 t ,

тогда

2xdx dt

и xdx

1

dt . Следовательно,

2

5 x2

t

1

4

1

dt

1

3

3

3 5 x2 4 C .

x 3 5 x2 dx =

t

t

xdx

1

=

3

3 C

=

8

2

2

4

2 dt

Пример 3.

Вычислить интеграл

arctg2 x

dx .

1 x2

Делаем замену arctgx t ,

тогда

dx

dt .

1 x2

Следовательно,

arctg 2 x

dx = t2dt

t3

arctg3 x

C

C .

1 x2

3

3

Пример 4.

Вычислить интеграл

xsin

5x dx .

x sin(5x)dx

u x

dv sin(5x)dx

1

x cos(5x)

1

du dx

v

cos(5x)

5

5

1

cos(5x)dx

1

x cos(5x)

1

sin(5x) C .

5

5

25

Пример 5.

Вычислить интеграл

ln 2x dx .

ln 2x dx =

u ln(2x)

dv dx

xln(2x) x

1

dx

1

du

dx

v x

x

x

xln(2x) x C .

5x 3

Пример 6.

Вычислить интеграл

dx .

3x2 3x 10

21

5x 3

5

2x 1

11

1

5x 3

1

dx =

dx

2

2

dx =

3x2 3x 10

3

x2 x

10

3

x2 x

10

3

3

1 5

2x 1

1 11

dx

5

10

dx

ln

x2 x

3

2

x2 x

10

3

2

1 2

37

6

3

3

x

12