Материал: 4576

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1	1				3		1


S	x 2 x2 3x 5 dx	x2 2x 3 dx		x		x2 3x

3	3		3				3

1		( 3)3		2		1			2
	1 3		( 3)		3 ( 3)		2	9 9 9 10		(кв. ед.).
	1 3		( 3)		3 ( 3)		2	9 9 9 10		(кв. ед.).
3		3				3			3

Пример 6. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

2		2
	x		y	1,	x 6.
	2		2
3		2
Первое уравнение задаѐт гиперболу, а					уравнение x 6 задаѐт вертикальную

прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой. Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения

VOx f 2 (x) dx ,

находим объѐм тела (рис.5), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси

Ox :

	6	4		2			4	x3		6	4	63		4	33
	6	4		2			4	x3		6	4	63		4	33
VOx	3		x		4	dx			4x				4 6			4 3
VOx			x		4	dx			4x				4 6			4 3
		9					9	3		3	9	3		9	3
8 8 16 (куб. ед.)

		Рис.5. Объѐм					тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной линиями									y f (x),								y 0,					x a,		x b			(a b) , вычисляется
																b
по				формуле							VOx f 2 (x) dx .													В			нашем		случае
																a
	y2		x2	1,	,		y2				9		x2 9,				a 2,					b 4, поэтому
				1,	,		y2						x2 9,				a 2,					b 4, поэтому
9		4								4
						4	9		2									9		x3			4		3		3
						4	9		2									9		x3			4		3		3
				VOx		2		x				9		dx							9x					4		9 4
				VOx				x				9		dx							9x					4		9 4
							4											4 3					2		4
												3			3
														2		9	2		12 12 24 .
														2		9	2		12 12 24 .
												4

6.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.

Вариант 0.


	1							3		cos x							1					1				dx
1.				4 5x dx ;			2.			cos x					dx ;	3.	x e x dx ;			4.						dx					.

												3
										sin		3	x												x2 1
	12									sin			x				0					0			x2 1
								6
Вариант 1.

	3			dx			2										2							15					dx
1.				dx	;	2.	sin3 x cos x dx ;										3. x ln x dx			;	4.								dx			.

																											5 x2
		7 2x
	1																1
																								5
																								5
							6
Вариант 2.

	4						3									e				1
	4									x dx						e	ln x			1			dx

1.		3x 7 dx ;					2.							; 3.					dx ; 4.											.

											2
											2
	3								sin			x				1		x		0		4		x2
							4
Вариант 3.
	4			dx			1										3				3			dx
1.				dx	;	2.	ex sin(ex ) dx ;									3.		ln x dx ;		4.				dx					.
																								x				2
			2x 1																			9						2
	0		2x 1				0										1				0	9
	0						0										1				0

Вариант 4.

	3															3													0
	3															2						dx							0	x										4 sin 4x dx .
																																e3x2 2 dx ;
1.						4x 3 dx ;							2.													; 3.												4.

																				(arcsin x)3				1 x2						2
	1														1		2			(arcsin x)3				1 x2					1	2										0
																	2
Вариант 5.
		2					dx								e									3												8				dx
1.							dx			;			2.		x3 ln x dx ;									3. x2			x3 3 dx ;								4.					dx					.

					3x 2																																		cos2			2x
		1													1									1												0
Вариант 6.
	1								x									2										5			x5								3 2					dx
1.				3						dx ;				2.					(5x 5)sin 3x dx ;							3.								dx ;		4.														.
																														2x			6
																																	6
	3								3																			2	7														9 x2
																																								2
Вариант 7.
		2						dx			2 ;			2. (x 5) ln 5x dx ;											3.	x2		e1 x3 dx ;							1				dx		2 .
1.								dx			2 ;			2. (x 5) ln 5x dx ;											3.	x2		e1 x3 dx ;							4.				dx		2 .
																			2							1										3
		0			1 2x														0							0										0 1 9x
Вариант 8.
	0																		0																					3				x
	0							dx											0							2														3						1
																										2
1.												;		2.					( x 2) e3x dx ;						3.	sin2					x cos x dx ;							4.		e 3								dx .

				6x 5							3
	1			6x 5														2								0														0
Вариант 9.
	1		1						x								2								2															2						dx
			1						x												x4 e4 5 x	5				(9x 5) cos 2x dx ;																				dx
										dx ;												5	dx ; 3.
1.														2.																							4.												.
1.									2					2.																							4.						cos				2		.
			3						2																																		cos					3x
	1																1								0															0
						Задание 2.												Построить						фигуру,		ограниченную									заданными линиями, и

вычислить еѐ площадь.

Вариант 0. y x2

Вариант 1. y x2

Вариант 2. y x2

Вариант 3. y x2

Вариант 4. y x2

Вариант 5. y x2

Вариант 6. y x2

Вариант 7. y x2

2x 3;

y x 1.

x 1; y x 2.

6x 4; y 2x 1.

3x 1; y 2x 3.

4x 9;

y x 3.

4x 5; y 3x 1.

2x 9; y 4x 1.

7x 3;

y x 5.

Вариант 8.	y x2 5x 17;	y 2x 5.
Вариант 9.	y x2 11x 9;	y 4x 3.

Задание 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 0. y 4x x2 , y 0, x 0, x 3.

Вариант 1.

y sin x,

y 0,

x 0,

x .

Вариант 2.

xy 4,

y 0,

x 1,

x 4.

Вариант 3.

Вариант 4.

y 2

x2 ,

y 0.

Вариант 5.

y tgx,

y 0,

x .

Вариант 6.

y 0,

x 2,

x 8.

Вариант 7.

y cos x,

y 0,

Вариант 8.

y 0,

x 0,

x 3.

Вариант 9.

y ctgx,

y 0,

x .

7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка

	6 y
y	2x	1	,	y(1) 4.

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y f1( x ) f2( y ) (здесь

f ( x )

( x ) y ). Запишем его в виде

6 y

Разделив обе

2x 1

части уравнения на

( y 0 ) и умножив на dx ,

получаем ДУ с разделенными

переменными

6dx

2x 1

в левой части которого отсутствуют члены,

содержащие x , и в правой части

которого отсутствуют члены,

содержащие y . Интегрируя обе части последнего

уравнения, получаем

6dx

c ,

y 2x 1

или

3ln

2x 1

(здесь символ

обозначает какую-либо одну

первообразную,

произвольная

постоянная c0

взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования

получаем общее решение исходного ДУ

y c 2x 1 3 .

Заметим, что здесь постоянная

может принимать любое действительное

значение,

в частности значение c 0,

так как при c 0 получаем функцию y 0 ,

которая также является решением исходного уравнения.

Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее

условию

y(1) 4,

определим значение

постоянной c так, чтобы

это условие

оказалось выполненным.

Подставив в общее решение x 1 и

y 4 , получаем 4 c 2 1 1 3 , отсюда

c 4 . Следовательно,

y 4

2x 1 3 – искомое решение задачи Коши.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y2 xy

Решение.

Запишем уравнение в виде

y 2

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)