Материал: 4576

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

					7x3			2x2				4x				2							4
	7x3 2x2 4x																7							7 0 0	7		1
lim	7x3 2x2 4x		lim	x3					x3			x3	lim				7		x			x2		7 0 0	7	3	1	.
lim			lim			2x3							lim											2 0		3		.
x	2x3 1		x			2x3					1				x					1				2 0	2		2
																		2
																					x3
							x3			x3											x3
П р и м е р 3.		Вычислить предел lim												sin x2 tg 4x									.
П р и м е р 3.		Вычислить предел lim												3x arcsin 2x									.
												x 0		3x arcsin 2x
		sin x2 tg 4x						sin 0 tg 0								0
Решение. lim																		.
Решение. lim																		.
	x 0 3x arcsin 2x					3		0 arcsin 0								0

Получили неопределенность 0

Выражение под знаком предела содержит тригонометрические функции, которые позволяют выделять первый замечательный предел, а именно,

lim

sin x2

lim

tg 4x

1 ,

lim

x2 0

4 x 0 4x

2 x 0 arcsin 2x

Домножив

исходную

дробь

на дроби

1 , выделим

выражения для первых замечательных пределов из исходного выражения

lim

sin x2 tg 4x

lim

sin x2

tg 4x

3x arcsin 2x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

tg 4x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

tg 4x

x2 4x

2x 3x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

lim

tg 4x

lim

x2 0

4 x 0

2 x 0 arcsin 2x

x 0

1 1 1

2 0

П р и м е р 4.

Вычислить предел

lim

cos6x

x 0 1

Решение.

lim

x 0

1 cos6x

cos(6 0)

Получили неопределенность

Сначала применим формулу 1 cos 2sin 2

, а затем воспользуемся первым

замечательным пределом lim

sin x

x 0

				x2		lim		x2			lim	x2	1		x 2	1	1		3x 2
lim														lim				lim
lim		1 cos6x								6x		2sin 2 3x		lim				lim
x 0		1 cos6x					x 0	2sin	2	6x	x 0	2sin 2 3x	2	x 0	sin 3x	2	3 x 0		sin 3x
								2sin		2
										2
	1		1	2	1
				1			.
				1			.
	2		3		18

1.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить пределы

1. а)

lim

3x2 7x 20

б)

lim

x4 6x2 5

в) lim

1 cos5x

x2 16

5x2

x 4

x 4x4

x 0

2. а)

lim

x2 25

б) lim

2x3

в) lim

3x2 11x 20

cos3x

x 5

x 7x5

x 0

3. а)

lim

x2 1

б)

lim

2x2

4x 5

в)

lim

sin 2x

10x2 x

tg3x

x 1

x 0

4. а)

lim

x2 25

б)

lim

4x5 1

в)

lim

tg2x

7x 10

5 7x x5

sin 3x

x 5

x 0

5. а)

lim

2x 8

б)

lim

4x2 5x 10

в) lim

1 cos5x

2x3

11x2

1 cos3x

x 4

x 0

6. а)

lim

6x 8

б)

lim

2x2

4x 1

в)

lim

sin 7x

x2 16

3x2

tg5x

x 4

x 0

7. а)

lim

2x 1

б)

lim

3x4 x2 x

в) lim

cos4x

x 1 3x2 4x 1

x 0

8. а)

lim

2x2

б)

lim

2x3

в)

lim

cos x 1

4x5 x 1

3x2

x 6

x 0

9. а)

lim

7x 12

б) lim

x3 4x2 7x 1

в) lim

2x2

x2 9

x4 x 2

1 cos4x

x 3

x 0

10. а) lim

x2 1

б) lim

7 x x2

в) lim

sin 6x

x2 3x

x 1

x 2 x 3x2

x 0

tg4x

2.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

2.2ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3	x
П р и м е р 1. Найти производную функции y cos	x ln		.

		2

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

– правило нахождения производной сложной функции.

cos x ln

(cos

cos

x (cosx)

3 cos2

x ( sin x)

3 cos2

x sin x

П р и м е р 2.

Найти производную функции

y tg

4x .

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

y tg

4x tg

2 x2

cos

4x tg

(2x 4)

2 x2

cos

x 2

;

cos

П р и м е р 3.

Найти производную функции

54 2 x

sin 7x

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

4 2 x

sin 7x 5

(sin 7x)

sin 7x

4 2 x

ln 5

4 2 x

cos7x

4 2 x

ln 5

4 2 x

cos7x 7

2x)

(7x)

( 2) 5

sin 2 7x

54 2 x

( 2 ln 5 7 cos7x)

sin 2 7x

y 5

П р и м е р 4.

Найти производную функции

log

(ex ) .

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

																	1
		5				x								x	15		1					x		54				x
y			log		3 (e		)				log3	(e			)			log			3 (e		)		log	3 (e			)
y			log		3 (e		)				log3	(e			)		5	log			3 (e		)		log	3 (e			)
																	5
	1							4			1					1							4		1
		log		3	(ex ) 5								ex				log		3	(ex ) 5							ex
		log			(ex ) 5								ex				log			(ex ) 5							ex
	5								ex ln 3							5									ex ln 3
	5								ex ln 3							5									ex ln 3
				1						.

	5ln 3 5
					log 4			(ex )
					log 4			(ex )
						3

2.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Найти производные следующих функций.

1. а) y 4 x2 arcsin 2x ,

в)

sin 4

arctg

e x ,

2. а) y arctg

1 4

в)

tg 2 x

cos 3x

3. а) y (2x 3)

sin

в)

e5 x

ctg

4. а) y e1 6 x cos7x ,

в)

arcsin

5. а) y 4 cos5 x

ln x ,

в)

sin 9x

ctg(2x 1)

6. а) y ln 4 x sin 5x ,

б) y e 2 x ln(3x 1) ,

г) y 3 ln(cos x) .

б) y sin x ln(8 2x) ,

г) y ecos( x ) .

б) y cos x ln( x2 4) ,

г) y arccos(ln5 x) .

б) y sin 2 x ln x ,

г) y 81 sin( x4 ) .
б) y e1 x	2	x
		arccos	,

		2

г) y tg(3 x2 3) .

б) y 3 x2 arcctg 2x ,

	x
	cos
	cos
	7
в) y	7	,	г) y 5	ctg(4x 1) .
в) y	e1 3x	,	г) y 5	ctg(4x 1) .
	e1 3x

			1
			1
7. а) y arccos					6 4x ,
7. а) y arccos					6 4x ,
		x
в) y	cos3 x			,
в) y				,
	7
	tg
	tg
	x

8.а) y 3 e9 arctg (x2 1) ,

в) y sin 5x , ctg 2 x

9.а) y cos7 x 3 2x ,


		1
		tg

в)	y	x		,
		ln( x2 1)
		x	e2 x ,
10. а)	y cos

		2

в) y	arccos 5x	,

	1
	ctg

	x

	x			sin x
б)	y ln		e		,
б)	y ln		e		,
		2

г) y 2arccos(x3 ) .

б) y ln(3x 2) cos x ,

г) y 2arccos(x3 ) .

	x			5 x
б)	y sin		e		,
б)	y sin		e		,
		4

г) y arccos x4 8 .

б) y ln 4 x sin x ,

г) y sin(4 x ) .


		3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
		3.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
	П р и м е р 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
y	5x2
		и на основании полученных результатов построить еѐ график.

	x2 25
	Решение. Проведем исследование функции y		5x2	по следующей схеме:
			x2 25

1.Область определения функции.

	В область	определения исследуемой функции не входят лишь те значения x ,
для	которых	x2 25 0 ,	то	есть	x 5	и	x 5.	Поэтому
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) .

2.Вид функции.

Выясним, является ли функция четной или нечетной.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)