Материал: 4576

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

n 1

(n 1)2

(n 1)

2n 1

(n 1)

2n 2

2n 1

2n 2

2 n2

Вычислим предел lim

n 1

lim

(n 1)2

2 n2

Так как 12 1, то данный ряд сходится.

Пример 8.2. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд

1		1	1	1	... ( 1)n 1	1	... .
						n ( n2 1)
2	10 30 68

Если ряд сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно. Решение. Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:

	1	1		1		1		1		1
								n (n2		(n 1) ((n 1)2
2		10	30		68			n (n2	1)	(n 1) ((n 1)2	1)
и
lim un lim					1		0 .

					(n2 1)
n			n n		(n2 1)

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. В этом случае он сходится либо абсолютно, либо условно.

Установим вид сходимости (абсолютная или условная) знакочередующегося ряда.

По исследуемому знакочередующемуся ряду

1		1	1	1	... ( 1)n 1	1	...
						n ( n2 1)
2	10 30 68

составим ряд из абсолютных величин его членов

1		1	1	1	...	1	....
						n ( n2 1)
2	10 30 68

Последний ряд является числовым рядом с положительными членами. Применим к нему предельный признак сравнения. В качестве эталонного ряда выберем ряд

1 18 271 641 ... n13 ...,

который			является обобщенным гармоническим рядом с 3 1 (это
сходящийся ряд).
Так как
u			1	, v		1	,
	n	n (n2 1)			n
						n3

то

lim

n v

n n (n2 1)

n n2 1

n 1

Получили,

что

A 1( 0 A ).

Согласно предельному признаку

сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Отсюда следует, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 8.3. Найти область сходимости степенного ряда

42 x2

...

4n xn

... .

3 2

3 3

3 n

Решение.

Найдем

радиус

сходимости

степенного

ряда по

формуле

R lim

. В данной задаче

n 1

, a

4n 1

n 1

3 n

поэтому

4n 3 n 1

1 n 1 1

1 1

R lim

lim

lim 3

4n 1

3 n

n 1

n 4

4 n

n 4

Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при

(то

есть при

;

) и

расходится при

а интервал

;

является интервалом сходимости этого ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x

получаем знакочередующийся ряд

( 1)n

Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.

Сравним

Так

как

n 3

n 1

при

всех

n 1

натуральных значениях

то

( n 1, 2, ...). Следовательно,

3 n 1

первое условие признака Лейбница выполнено.

Так как

lim u

lim

0 ,

то второе условие признака Лейбница также

n 3

выполнено.

По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

При

данный степенной

ряд

превращается в числовой

ряд

положительными членами

который

является

обобщенным

гармоническим

рядом с

и,

следовательно, расходится.

Таким

образом, промежуток

;

является

областью

сходимости

исходного степенного ряда.

Пример 8.4. Пользуясь одним из разложений элементарных функций в ряд

Маклорена, вычислить значение	1	с точностью до 0,001.

	3 e

Решение. Воспользуемся разложением

ex 1				x		x2				x3		x4	... .
ex 1													... .
		1! 2! 3! 4!
Полагая x							1		, получаем:
Полагая x									, получаем:
					3
											1 2			1 3	1 4
		1
		1
1			e		1			1			3			3	3	... 1	1	1	1	1	... .
1				3				1			3			3	3		1	1	1	1

	3 e
	3 e				3						2!			3!	4!		3	18	162	1944

Так как последний знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы

Лейбница и	1		0,001, то, согласно замечанию 13.5, для приближенного

	1944
вычисления		значения		1		с точностью до 0,001 можно ограничиться

				3
					e

первыми четырьмя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:

1	1	1	1	1	0,716.

3 e		3	18	162

Пример 8.5. Вычислить x2 cos x dx с точностью до 0,001, разложив в ряд

Маклорена подынтегральную функцию.

Решение. Воспользуемся разложением функции cos x в ряд Маклорена:

cos x 1						x2					x4				x6		... .
cos x 1																	... .
					2!				4!						6!
Тогда
	x2 cos x x2							x4					x6						x8		... ,
	x2 cos x x2																				... ,
								2!				4!							6!
1							1					x		4		x		6				x	8			1		1		x			4		1	x	6	1		x	8
x2 cos x dx ( x2												x				x						x		...)dx x2dx						x				dx		x		dx		x		dx ...
x2 cos x dx ( x2																								...)dx x2dx										dx				dx				dx ...
0							0					2!			4!					6!						0		0		2!					0	4!		0		6!
0							0																			0		0							0			0
		x3		1			x5			1				x7			1					x9			1	...	1		1				1			1			... .
		x3					x5			1				x7			1					x9			1		1		1				1			1
							2!					7 4!								9 6!
3				0	5		2!			0		7 4!					0			9 6!					0		3	10			168				6480
				0						0							0								0
Так как					последний									ряд				удовлетворяет условиям														теоремы						Лейбница и
1																																				1
1			0,001,					то для приближенного вычисления значения x2 cos x dx с

6480
6480																																				0
																																				0

точностью до 0,001 можно ограничиться первыми тремя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:

1	1		1		1
x2 cos x dx						0,239.
	3	10		168
0

Пример 8.6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального

уравнения

y x2 y2

1 при условии, что y( 0 ) 1.

Решение. Будем искать решение y( x ) в виде ряда Маклорена:

y( x ) y( 0 )

y ( 0 )

... .

Подставляя

в данное дифференциальное

уравнение

первого порядка

начальные

условия

x 0 и

y 1,

находим,

что

y ( 0 ) 1.

Продифференцируем обе части исходного уравнения по переменной

x :

2xy

При x 0, y 1 и y

получим

yy .

y ( 0 )

Дифференцируем предыдущее уравнение:

y 2y2 4xyy 4xyy 2x2 (( y )2 yy ).

Используя начальные условия, получаем y ( 0 ) 2.

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем:

y( x ) 1 x x3 ... .

8.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 8.1.

а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд; б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд; если ряд

сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно; в) найти область сходимости степенного ряда.

Вариант 1. а)	1		2	3	...	n	...,
	2		3 32	4 33		( n 1) 3n
		3

б)	1			1			1					1		... ( 1)n 1						1		...,
б)														... ( 1)n 1					n2			...,
	4			7		12				19									n2	3
в)	x		x2					x3	...						xn		....
в)	x								...								....
				2			3									n
				2			3									n
Вариант 2. а)	2			2				2		...						2	...,
Вариант 2. а)	1			3				3		...						3	...,
	1			2			3									n
б)		1			1		1				1		... ( 1)n 1					1			...,
б)	5			7			9			11			... ( 1)n 1					2n 3			...,
	5			7			9			11								2n 3

		в)			x					x2								x3			...							xn		....

									2		2						3 3										n n
									2		2						3 3										n n

Вариант 3. а)			2							2							2				...								2		...,
Вариант 3. а)		3 5							6	52							9 53				...							3n 5n			...,
		3 5							6	52							9 53											3n 5n
	б)					1					1						1						1				... ( 1)n 1							1		...,

				2		2					3						10						11												n 7
				2		2					3						10						11												n 7
	в)			x				x2							x3			...						xn		....
	в)																	...								....
				1					4					9										n2
Вариант 4. а)		3					9					27				...									3n				...,
Вариант 4. а)	22															...						( n 1)2							...,
	22					32					42											( n 1)2
	б)			1					1				1						1	... ( 1)n 1													1	...,
	б)																			... ( 1)n 1												n2	n	...,
				2					6		12						20															n2	n
																				42

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)