Материал: 4576

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть

	y		y
уравнением вида		f		(здесь

			x

	y	y 2	y
f				). Для его решения сделаем

	x	x	x

	y	u . Отсюда	y ux и

подстановку	x			y	u x u . Подставляя выражения для	y

иy в последнее ДУ, получаем x

u u

u ,

u x

или

u x

Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися

переменными. Решим его.

c ,

Найденное решение

u подставим в формулу y ux и получим, что общее решение

исходного ДУ есть

c ln

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

x 1 .

x 1

Решение.

Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то есть

p( x )y g( x ) (здесь

g( x ) x 1 ). Его

уравнением вида y

p( x ) x 1 ,

решение будем искать в виде произведения двух функций

y u . Запишем

производную произведения y

. Подставляя данные выражения в ДУ,

u u

получаем

x 1

u u

		3		x 1	2		( )
или						.
	u u	x
			1

Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ( ):

3 0. Решив это ДУ с разделяющимися переменными, найдем функцию . x 1


	d	3			,		,	d		3dx	,
		x			,		,			x 1	,
	dx	x		1						x 1
,	d		3dx			,	,	ln	3ln			x 1	,
	d		3dx
			x 1
			x 1

, x 1 3 .

(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).

Подставив найденную функцию в равенство ( ), получаем

	x 1	3	x 1	2				1
							x 1 .
u					, или	u	x 1 .

Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде

du	1	или du	dx	.
	x 1
dx			x 1

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем u ln x 1 c .

Перемножив найденные функции u ln			x 1	c	и x 1 3 , получим
Перемножив найденные функции u ln			x 1	c	и x 1 3 , получим
общее решение исходного дифференциального уравнения
y ln	x 1	c x 1 3 .
y ln	x 1	c x 1 3 .

Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

y			16y 0,	y( 0 )
		8y			, y ( 0 )

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

y 2 y 8y 3e 2 x .

Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид yон yоо yчн , где yоо – общее решение однородного уравнения, а yчн – частное решение неоднородного уравнения.

Сначала решим однородное уравнение

y 2 y 8y 0.

Составим для этого ДУ характеристическое уравнение

k 2 2k 8 0.

Решая это квадратное уравнение, находим его корни k1 2, k2 4 . Так как k1 k2 , то общее решение однородного ДУ имеет вид

yoo c1ek1x c2ek2 x c1e 2 x c2e4 x .

7.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2 y2 2 y

Вариант 0.

x 3

y( 2 ) 3 .

ye2 x

Вариант 1.

e2 x 8 ,

y( 0 ) 1.

3 y2

Вариант 2.

y( 2 ) 1.

2 x2

2 yex

Вариант 3.

ex 3 ,

y( 0 ) 4 .

Вариант 4.

xy2 x

y( 0 ) 0 .

4 x2

Вариант 5.

y y ln y

y( 2 ) e .

x xy2

Вариант 6.

2 y

yx2

y( 0 ) 3 .

y cos x

Вариант 7.

3 2 sin x ,

y( 6 ) 4 .

Вариант 8.	y 2xy 2 y,				y( 1) 3.
			y 1

Вариант 9.	y	x2 x		,	y(1) 3.
Вариант 9.	y	x2 x		,	y(1) 3.

Задача № 2.

Вариант 0. а)

Вариант 1. а)

Вариант 2. а)

Вариант 3. а)

Вариант 4. а)

Вариант 5. а)

Вариант 6. а)

Вариант 7. а)

Вариант 8. а)

Найти общее решение дифференциального уравнения.

						y

xy	y y ln x ,
xy	y y ln x ,
		y		2 y
		y

y	x		e	x	,
				x

x2 y xy 2 y2 ,

x2 y2 2xyy 0 ,

y x3 y3 , xy2

ctg x ,

sin x ,

xyy x2

2 y2 0,

sin

y ,

б) y cos2 x y e tgx .

б) y 2 y x 1 e2 x .

б) xy y x2 cos x . б) y 2xy xe x2 .


б) 1 x		2		y	2xy x .
б) 1 x				y	2xy x .
			y
			y

б) y	x ln x					x ln x .
б) y	x ln x					x ln x .

б) y sin x y cos x x2 sin2 x .

б) y y cos x cosx esin x .

б) y sin x y cos x e2 x .

2 x

y x e .

Вариант 9.

а)

tg x ,

б) y

Задача № 3. Найти решение задачи Коши для линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка.

Вариант 1.

2 y

y 0,

y( 0 ) 1,

0 .

y ( 0 )

Вариант 2.

2 y

2 y 0,

y( 0 ) 1,

y ( 0 ) 1.

Вариант 3.

2 y 0,

y( 0 ) 5,

4 .

y ( 0 )

Вариант 4.

4 y

4 y 0,

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 1.

Вариант 5.

9 y 0,

y( 0 ) 0,

y ( 0 ) 3.

Вариант 6.

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 3.

Вариант 7.

4 y

9 y 0,

y( 0 ) 2,

12 y

y ( 0 ) 4 .

Вариант 8.

4 y 0,

2 .

y( 0 ) 3, y ( 0 )

Вариант 9.

12 y 0,

y( 0 ) 1,

7 y

y ( 0 ) 2 .

Вариант 10.

2 y 0,

y( 0 ) 3,

4 .

y ( 0 )

Задача № 4. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

Вариант 1.	y 2 y 8sin 2x .
Вариант 2.	y 9 y 6e3x .
Вариант 3.	y 25y 24 sin x .
Вариант 4.	y 2 y 5y 16e x .
Вариант 5.	y 3y 12x 1.
Вариант 6.	y 6 y 9 y 9cos 3x .
Вариант 7.	y 6 y 10 y 4e2 x .
Вариант 8.	y 2 y y 50 sin 3x .
Вариант 9.	y y x2 .
Вариант 10.	y 4 y 4 y 4 8x .
	8. РЯДЫ
	8.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 8.1. Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится ряд

				2
1	4	9	...	n	... .
2	3	4	...	n 1	... .
2	2	2		2

Решение. Применим к данному ряду с положительными членами признак Даламбера. Выпишем n –й и (n 1) –й члены ряда:

u	n2	, u	(n 1)2	(n 1)	2	.
	2n 1		2(n 1) 1	2n 2
n		n 1

Тогда

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)