Материал: 4576

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то

эта функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то

эта функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для нашей функции:

y(x)	5x2		y( x)	5( x)2	5x2		y(x)	5x2
		,				,			.
	x2 25			( x)2 25	x2 25			x2 25
Видим, что y( x) y(x) для любого x из							области определения функции.

Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.

3.Точки пересечения графика функции с осями координат.

Для нахождения

точек

пересечения

графика

с осью

решим

систему

уравнений

y 0,

5x2

Отсюда получаем, что x 0 ,

y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой

пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения

точки

пересечения

графика

функции

осью Oy

решим

систему уравнений

x 0,

5x2

Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика функции с осью Oy .

4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности,

точки экстремума).

Найдем первую производную функции:

						2						2			2							2		2						2					2
					5x	2					(5x	2		(x	2	25)			5x			2	(x	2				10x (x		2	25)			5x	2	2x
					5x						(5x		)	(x		25)			5x				(x			25)		10x (x			25)			5x		2x
	y
	y				2												2				2											2		2
					2											(x	2	25)			2								(x			2	25)	2
			x			25										(x		25)											(x				25)
		10x (x2				25 x2 )									250x					.
				(x2 25)2										(x2 25)2						.
				(x2 25)2										(x2 25)2
	y 0 при						x 0 , y не существует при																			x 5		и x 5.				Точки		x1 5 ,				x2 0 ,
x3 5 разбивают область определения функции на четыре интервала																																		( ; 5) ,				( 5;0) ,
(0;5) , (5; ) . Определим знак производной																									y		на каждом из них.							Возьмем любое
число			из					интервала								( ; 5) ,											например					6 .				Так		как
			250 ( 6)						1500
y ( 6)													12,4 0 ,							поэтому							на		всем				интервале				( ; 5)
y ( 6)			(36 25)2							121			12,4 0 ,							поэтому							на		всем				интервале				( ; 5)
																							13

производная y 0						и,	следовательно,									функция монотонно возрастает. Аналогично
определяем знак производной y														на трех других интервалах:
				250 ( 1)					250
y ( 1)													0,4 0			,
y ( 1)				(1 25)2					576				0,4 0			,
				250 2					500				1,1 0 ,
y (2)			(4 25)2						441				1,1 0 ,
				250 7					1750
y (7)														3,1		0 .
y (7)			(49 25)2								576			3,1		0 .
Результаты исследования занесем в таблицу:

x		( ; 5)												( 5;0)					0						(0;5)			(5; )
y			+											+					0							−		−
			+											+					0							−		−

y																			0
																			0

y		функция											функция					max					функция					функция
		возрастает										возрастает						max						убывает				убывает
		возрастает										возрастает												убывает				убывает
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) ,																												( 5;0) и убывает
на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке																x 0 производная меняет знак с «+» на «−»,
следовательно,				x 0 −			точка максимума функции. Значение функции в этой точке
равно:
																ymax(0) 0 .
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость,
точки перегиба графика).
Найдем вторую производную функции:
																											2
					250x												(x	2	25)		2	x ((x			2	25)	2
					250x										(x)		(x		25)			x ((x				25)	)
y										250
y	( y )					2		2		250										2				4
						2	25)	2											(x	2		25)		4
				(x			25)												(x			25)

250		1 (x2 25)2 2x (x2 25) 2x					250	(x2	25) (x2 25 4x2 )
250			(x2 25)4				250		(x2 25)4
			(x2 25)4						(x2 25)4
250	3x2 25		.
250	(x2 25)3		.
	(x2 25)3
y 0 , если 3x2			25 0 . Это уравнение не имеет решения.
y не существует при x 5 и x 5.
Точки		x1 5,	x2 5		разбивают		область определения функции на три
интервала: ( ; 5) , ( 5;5) , (5; ) . Определим знак производной										y на каждом из
				3 62	25	133

			250 (62 25)2 250			121 274,8			0 , поэтому на всем интервале
них. Так как	y ( 6)		250 (62 25)2 250			121 274,8			0 , поэтому на всем интервале
						14

( ; 5) производная			y 0 и, следовательно, график функции является вогнутым на
данном интервале. Аналогично определяем, что					y 0 на интервале ( 5;5) , поэтому
график выпуклый на данном интервале. На интервале (5; )						y 0 , поэтому график
вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

	x	( ; 5)		( 5;5)	(5; )
	x			( 5;5)	(5; )

	y		+	−	+

	y
	y	вогнутый		выпуклый	вогнутый
	y	график		график	график
		график		график	график

Точек перегиба на графике функции нет.

6.Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.

Точки разрыва функции – это точки

x1 5

и x2 5 , в которых функция не

определена. Вычислим пределы функции в этих точках:

lim

5x2

125

, lim

5x2

125

x 5 x

Поэтому

прямые

с уравнениями

x 5

x 5 являются вертикальными

асимптотами графика функции.

7.Невертикальные асимптоты графика функции.

Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси

Оу. Невертикальная асимптота графика функции y f (x) при	x существует
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

lim f (x)

x x

Эта асимптота имеет уравнение

k, lim[ f (x) kx] b .

y kx b .

Вычислим пределы

f (x)

lim

0 k ,

lim

x x (x2

25)

x x2

x 1

252

5x2

lim[ f (x) kx] lim

0 x

lim

5 b .

252

x x

x 1

Так как оба предела k и b конечны, то график функции имеет невертикальную асимптоту при x . Еѐ уравнение y kx b , то есть y 5 .

8.Построение графика функции.

На основании результатов проведенного исследования строим график функции.

Рис. 1 Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика

функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту часть графика

симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

	5 22		20				5 72	245
y(2)				0,9	,	y(7)			10,2 .
	22	25	21				72 25	24

9.Множество значений функции.

Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что E( y) ( ;0] (5; ) .

3.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x)

и на основании полученных результатов построить еѐ график.

1. y

3. y

5. y

7. y

	1			.	2.	y	1 x3				.

x2	4x 3							x2
x2	4x 3							x2
x3		.			4.	y		x2 2x				.
6 2x2		.			4.	y		x		1		.
6 2x2								x		1
x2 x 4			.		6.	y		x 2		.
2x			.		6.	y		x3		.
2x								x3
1		.			8.	y	x3 4				.
x2	2x	.			8.	y		3x	2		.
x2	2x							3x	2

	y	x2			y	x3
9.			.	10.			.
		x2 1				x2 1

4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1. Изобразить область определения D(z) функции двух переменных


z	4 y2 x .

Функция z			4 y2	x определена во всех точках, координаты x и y			которых
удовлетворяют		неравенству			4 y2 x 0	или x 4 y2 . Уравнение	x 4 y2
задаѐт параболу, а				неравенству x 4 y2		удовлетворяют координаты точек
плоскости, расположенных левее этой параболы:

Рис.2.

Область определения D(z) функции z 4 y2 x изображена на рис.4.

Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.

а) При нахождении частной производной	z	переменная	y рассматривается
	x
как постоянная:
z 9x8 y2 4 .
x
При нахождении частной производной z	переменная x		рассматривается как

постоянная:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)