Материал: 2426

Определенная сложность воз-

Y1

никает в том, что прямая линия

грузового каната, совпадающая с

гравитационной вертикалью, при

переводе в плоскую систему коор-

динат (ρ–Y1) получает вид кривой

второго порядка с небольшой кри-

визной, если углы наклона базово-

го шасси относительно гравитаци-

ρ

онной вертикали имеют ненуле-

Рис. 4.8. Примерный вид линий

вые значения (рис. 4.8).

Чтобы

получить

наиболее

грузового каната в системе координат

простой вид

уравнения

прямой

(ρ–Y1) при ненулевых углах наклона

грузового каната в системе коор-

шасси

динат (ρ–Y1), используется схема,

приведенная на рис. 4.9.

Уравнение прямой

(4.15) в

плоскости x1–z1 имеет вид

ρ

1

2

l1,2

Y1

x − x1

=

z − z1

.

(4.20)

Z1

h1

x2 − x1

z2 − z1

h2

3

Уравнение данной прямой на

плоскости можно также записать в

X1

виде

A·x+B·z+C=0,

(4.21)

Рис. 4.9. Схема для определения

где

уравнения линии грузового каната

A=1/(x2–x1); B=–1/(z2–z1);

(вид сверху на поворотную колонку)

h1

=

C

.

(4.23)

A2

+ B2

h =

ρ 2 - h 2 .

(4.24)

2

1

h2=y·к+y0,

(4.25)

циональности к может быть определен как

к=l1,2/∆y1,2,

(4.26)

y0=h2 –y1·к.

(4.27)

y × к + y

0

=

ρ 2 - h 2 ,

(4.28)

1

отсюда

y = (

)

ρ

2 − h

2

− y

0

к .

(4.29)

1

186

Или обратная зависимость:

ρ 2 = h 2

+ (y × к + y

0

)2 .

(4.30)

1

Границы области возможных положений оголовка стрелы в ко-

ординатах «вылет–высота» (ρ–y) будут заданы следующими уравне-

ниями (см. рис. 4.3):

·

линия 1:

y=к1·ρ+y01;

(4.31)

·

линия 2:

y=к2·ρ+y02;

(4.32)

·

линия 3:

(ρ–c1)2+y2=(R3)2;

(4.33)

·

линия 4:

(ρ–c1)2+y2=(R4)2,

(4.34)

где к1, к2, y01, y02, R3, R4, – конструктивно заданные постоянные.

Для их определения воспользу-

q9

c3

емся схемой на рис. 4.10. Согласно

Y1

этой схеме, по теореме синусов,

c2

y01

q8

y

c3

yc1

c3

c1

yc2

ρ

=

; yc1 =

;

yc1

ρ

sin(90° - q8 )

sin 90°

c1

yc2 ;

cosq8

=

q8

zc1

c3

sin(90° - q8 )

sin q8

q8

yc2 = c1 × tg(q8 );

yc2=yc1+y01;

(90°–q8)

y01 = c1

× tg(q8min )-

c3

;

(4.35)

cos(q8min )

Рис. 4.10. Схема для определения

y02 = c1

× tg(q8max )-

c3

. (4.36)

постоянных к1, к2, y01, y02, R3, R4

cos(q8max )

к1=tg(q8min);

(4.37)

к2=tg(q8max);

(4.38)

R3 =

(c2 + q9min )2 + (c3 )2 ;

(4.39)

R4 =

(c2 + q9max )2 + (c3 )2 .

(4.40)

После определения коэффициентов уравнений (4.31)–(4.34) необ-

ходимо решить четыре системы уравнений: (4.30)–(4.31), (4.30)–

(4.32), (4.30)–(4.33) и (4.30)–(4.34).

Решения систем уравнений (4.30)–(4.31) и (4.30)–(4.32) имеют

вид соответственно

æ

к × y

0

× к + к2 × к × y

01

±

ö

ç

1

1

÷

ç

- к × к

2

× h

2

+ h

2

+

÷

ç

1

1

1

÷

-

к1 ×ç

± + 2 × к × y0 × y01 +

÷

ç

2

2

2

÷

ç

+

к

× y01

÷

y =

è

+ y0

ø + y01 ;

(к2 × к

2

-1)

(4.41)

1

æ

к × y

0

× к

2

+ к2 × к

2

× y

02

±ö

ç

÷

ç

- к × к

2

2 × h 2

+ h

2 + ÷

- к2 ×ç

1

1

÷

± + 2 × к × y0 × y02 +

ç

÷

ç

2

2

2

÷

ç

+ y0

+ к

× y02

÷

y =

è

ø + y02 .

(4.42)

(к2 × к2

2 -1)

Причем используются только положительные значения y, кото-

рым, как показали расчеты, соответствует знак «+» перед квадратным

корнем.

Системы уравнений (4.30)–(4.33) и (4.30)–(4.34) могут быть све-

дены к уравнению с одним неизвестным четвертой степени, которое,

как отмечалось, гораздо легче решить численно, чем аналитически.

Однако можно обойтись и без численных методов, если провести

линеаризацию кривой грузового каната в координатах (ρ–Y1), описы-

ваемой уравнением (4.30), в окрестностях ее пересечения с заданной

дугой 4 (или 3) окружности (рис. 4.11).

Y1

ρ0=const

Линеаризация

для

пересечения

yв

линии грузового каната с дугой 4

y4

включает

предварительное

определе-

yд4

cy

ние вертикальной координаты y4 (см.

yн

4

рис. 4.11) пересечения вертикальной

3

прямой линии вылета ρ0=const точки 1

подвеса груза с координатами x1, z1

Точка 1

ρ0 =

x12 + z12 ,

(4.43)

ρ0

ρн

ρв

ρ

Рис. 4.11. Схема линеаризации

и

дуги

4,

описываемой

уравнением

уравнения грузового каната

(4.34)

для пересечения с дугой 4

2 - (ρ0 - c1 )2 . (4.44)

y4 =

R4

Действительное значение yд4 вертикальной координаты точки пе-

ресечения линии грузового каната и дуги 4 будет отличаться от y4, ес-

ли имеются ненулевые углы наклона базового шасси относительно

гравитационной вертикали.

Необходимо определить значения вылета ρ двух точек на линии

грузового каната с вертикальными координатами, большими и

меньшими y4 на некоторую постоянную величину cy (см. рис. 4.11).

Значение cy будет определяться конструкцией ГПК (типоразмером)

и должно быть подобрано таким образом, чтобы для любых коор-

динат точки груза при любых допустимых углах наклона базового

шасси точка пересечения yд4 линии грузового каната и дуги окруж-

ности 4 оказалась внутри интервала [(y4+cy)

(y4–cy)].

Это означает, что cy должно

быть

больше

определенного

cy

q8

минимально допустимого

зна-

Касательная

yc

h

чения.

Для приближенного вычис-

ления

минимально возможного

значения cy используется схема,

q8

αc

изображенная на рис. 4.12.

Согласно

этой

схеме

R4

y0z

tg(q8)=h/cy;

αc=h/yc;

yc=sin(q8 )× R4 + y0z , отсюда

Рис. 4.12. Схема для приближенного

α

)×(sin(q8)

×R4 + y0z ), (4.45)

определения минимального

cy = tg(qc

значения cy

8

где αc – максимальный суммарный угол наклона базового шасси от-

носительно гравитационной вертикали.

Так, например, если принять αc=3°=0,05236 рад, то для конструк-

ции ГПК с R4=20 м и y0y=3 м при варьировании q8 от 10 до 80° мини-

мально допустимое значение cy будет равно 1,92 м. В данном случае

целесообразно принять cy=2 м.

При обозначении

yв=y4+cy; yн=y4–cy.

(4.46)

ρ =

.

h12 + (y × к + y0 )2

(4.47)

189