Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Кроме того,

= 1 ≠ 0 ,

x3 +1

lim

= lim 3

x→+∞

≠ ∞

x3+1

что позволяет использовать признак 5 и сделать вывод о сходимости

исследуемого интеграла.

+∞sin x

dx .

3. ∫

+∞sin x

Интеграл

сходится

абсолютно, т.к.

+∞ dx

( p = 2 >1)

∫

sin x

сходится (65)

и верно неравенство

≤

(использовали признак

А∫

сравнения неравенством 1 для и сследования сходимости исходного

интеграла).

Несобственные интегралы II рода (интегралы

с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

Рассмотрим функцию

y = f (x) , определенную и непрерывную

на конечном интервале [a, b). При этом в точке b , например, функция

Если

имеет разрыв.

нтегралом b

Несо ственным

f (x)dx от функции, разрывной в

точке b , называется ч

сло, равное пределу

f (x)dx = lim

(66)

∫

∫ f (x)dx .

t→b−0

предел существует и равен числу, то говорят, что интеграл

∫ f (x)dx сходится. В остальных случаях интеграл расходится.

231

Геометрический смысл несобственного интеграла II рода

на [a, b)

При

f (x) ≥ 0

несобственный интеграл ∫ f (x)dx (66) ра-

вен площади криволинейной трапеции с бесконечной высотой (рис. 35).

y = f (x)

t → b

Рис. 35

Пусть функция

y = f (x) определена и непрерывна на интервале

(a, b]. Пусть также в точке a

функция имеет разрыв. Тогда

f (x)dx = lim

(67)

∫

∫ f (x)dx .

t→a+0

Сходимость и расходимость определяются так же, как в пред ы-

дущем определении.

определена, непрерывна на [a, b],

Пусть теперь функция y = f (x)

кроме

c (a, b),

в которой функция имеет разрыв 2-го

рода. То-

гда ∫ f (x)dx раз

вается в сумму двух несобственных интегралов

(68)

∫ f

(x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

точки

С a

Рис. 36

232

	b
Считаем, что	∫ f (x)dx сходится, если сходятся оба интеграла
	a

c				b															b	f (x)dx является расходящимся
∫ f (x)dx		и ∫				f (x)dx . Иначе интеграл													∫	f (x)dx является расходящимся
a				c															a
(рис. 36).
					Задачи для самостоятельного решения (видео 5)
Вычислить несобственные интегралы или определить их сходимость.
						2														Д
+∞ d x																					1												И
1.	∫				2 .														2.		∫ ln x dx .
	a x				dx																0				dx
+∞					dx															1					dx
3.	∫										.								4.	∫											.
							2
							2
−∞ 1				+ x														А											2
−∞ 1				+ x																−				1− x					2
																					1			1− x
+∞						d x														+∞					d x
5.	∫			2		+ x						− 2			.				6.	∫			1		+ x			3	.
	2 x					+ x						− 2								0			1		+ x
+∞ x				2 +			1													1							d x
										б
7.	∫			4		+	1				dx .								8.	∫	(2				− x) 1							− x		.
	0 x					+	1													0	(2				− x) 1							− x
+∞ sin							x dx														2				dx
9.	∫													.					10.			∫						.
9.	∫					x								.					10.			∫		ln x				.
	0					x															0			ln x
и																										arctg x dx
		+∞						dx														+∞				arctg x dx
11. ∫				x		3			x			2	+	1		.			12.				∫						x		3			.
	1			x					x				+	1									0
Ответы:
С																	2.	−1.								3. π .
1.	1 .																2.	−1.								3. π .
	a																	2 ln 2 .												2π
4. π .																	5.	2 ln 2 .							6.								.
		π																3											3			3
		π																π
7 .					.												8.	2 .								9. Расходится.
7 .			2		.												8.	2 .								9. Расходится.
10. Расходится. 11. Сходится.																										12. Расходится.

233

§33. Приложения определенного интеграла
	Площадь плоской фигуры (видео 6)
Площадь	криволинейной					трапеции,	ограниченной		кривой
y = f (x) ≥ 0, прямыми		x = a;		x = b; y = 0 (рис. 37), вычисляется по
формуле
			S =		b	f (x) dx .			(69)
			S =		∫	f (x) dx .			(69)
					a			И
						y = f (x)
			a			b
			a			b
				Рис. 37
Площадь фигуры, ограниченной кривыми								y = f (x) ;	y = g(x)
( f (x) ≥ g(x)), прямыми x = a;				x = b (рисД. 38), находится по формуле
		S = ∫b ( f (x) − g(x))dx .							(70)
			a
						y = f (x)
			А
	б					y = g (x) b
и			a			y = g (x) b
				Рис. 38
								параметрического
Площадь криволинейной трапеции в случае								параметрического
	x = x(t)		(рис. 39) выражается формулой
задания кривой			(рис. 39) выражается формулой
С	y = y(t)
С
					234

			t2
			S = ∫ y(t) x'(t)dt ,						(71)
			t1
где t1	и t2 находятся из уравнений a = x(t1 );						b = x(t2 ) и y(t) ≥ 0		при
t [ t1, t2 ].
			a	Рис. 39		b
				Рис. 39
	Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, за-
данной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), прямыми ϕ									= α
и ϕ = β ; α < β (рис. 40), находятся по формуле								И
			S = 1	β					(72)
			S = 1	∫r2 (ϕ)dϕ .					(72)
			2	α		Д
						Д
				r = r(ϕ)
			А
				Рис. 40
		б
	Пр меры.
	1. Найти площадь ф гуры, ограниченной параболой y = 9 − x2 и
осью	Ox ( . 41).
рис				y	9
С			-3	0	3		x
			-3	0	3		x
				Рис. 41
				235

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11

Материал: 2231

§33. Приложения определенного интеграла

Смотрите также: