Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Это значит, что несобственный интеграл сходится, равен 1. С

геометрической точки зрения найдена площадь ST = 1 криволинейной

трапеции T (рис. 30)

y =

Рис. 30

+∞ dx

N dx

(ln

N − ln1)= +∞.

2. ∫

lim ∫

= lim

lim ln x

N→+∞ 1 x

N→+∞

Т.е. интеграл расходится к бесконечности . ST

= +∞ (рис. 31).

y = x

Рис. 31

+∞

3. ∫sin xdx = Nlim→+∞

− cos x

∫sin xdx = Nlim→+∞

= lim (− cos N + cos 0)

lim (1− cos N).

N→+∞

Предел не существует, т.е. интеграл расходится, его значение не

определено.

Несобственным интегралом ∫

f (x)dx называется предел

−∞

226

	a		= lim		a				(63)
	∫ f (x)dx		= lim		∫ f (x)dx .				(63)
	−∞		N→−∞ N
Сходимость или расходимость в этом случае определяются так
же, как в предыдущем определении (62).								И
Несобственный интеграл			+∞					И
Несобственный интеграл			∫ f (x)dx разбивается в сумму
			−∞
	a			+∞		,			(64)
	∫ f (x)dx			+ ∫	f (x)dx	,			(64)
	−∞			a	Д
	−∞			a
где a – произвольное число.
Интеграл	+∞
Интеграл	∫ f (x)dx сходится, если сходятся оба указанных инте-
	−∞	А
	−∞
							+∞
грала. Если хотя бы один из них расходится, то							∫ f (x)dx расходится.
							−∞
Основные свойства интегралов с бесконечными пределами
				+∞	f (x)dx		+∞	f (x)dx сходятся или
1. Несо ственные интегралы ∫					f (x)dx	и	∫	f (x)dx сходятся или
расходятся одновременно.				a			b
расходятся одновременно.
Действ тельно, свойство 1 получается из равенства, показы-
вающего связь эт х нтегралов:
С		(x)dx + b f (x)dx =				b
+∞ f (x)dx = +∞ f		(x)dx + b f (x)dx =				b	f (x)dx + С
∫	б∫			∫		∫
a	b			a		+∞

				собственный
				интеграл
+∞	N	lim	(c N − c a) =			+ ∞ ,
и2. cdx = lim cdx =		lim	(c N − c a) =			+ ∞ ,
∫	N→+∞ ∫	N→+∞
a	a

значит, интеграл расходится (рис. 32).

227

		c
			S =+∞
			a
			Рис. 32			+∞
3. Если						+∞
3. Если	f (x) ≥ 0, то несобственный интеграл					∫ f (x)dx либо схо-
дится, либо расходится к бесконечности.						a
дится, либо расходится к бесконечности.
Действительно, интеграл с				переменным		верхним пределом
N
Ф(N) = ∫ f (x)dx является возрастающей функцией. При N → +∞ вся-
a
кая возрастающая функция стремится к конечному пределу или к + ∞
(рис. 33).						И
						И
			Ф(N)
			a	N →+∞
			Рис. 33		Д
			Рис. 33
4. Признак сравнения несо ственных интегралов неравенством.
Пусть f (x)		ϕ(x) – непрерывные на [a, + ∞) функции, причем
выполняется неравенство			А
выполняется неравенство			0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x) на [a, + ∞). Тогда
	+∞			+∞
а) если	∫ϕ	(x)dx сход тся, то		∫	f (x)dx тоже сходится;
	a			a
	+∞ б			+∞
б)	∫ f (x)dx расходится, то				∫ϕ(x)dx расходится (рис. 34).
	a				a
если				y = ϕ (x)
С a				y = ϕ (x)
					y = f (x)

Рис. 34

228

5. Признак сравнения отношением.

Если lim

f (x)

= k , причем k ≠ 0;

k ≠ ∞, то несобственные ин-

x→+∞ g(x)

+∞

тегралы ∫ f (x)dx и

∫ g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Хотя, в случае сходимости, значения этих интегралов могут су-

щественно различаться, даже в случае k =1 и

a = b .

Чаще всего исследование сходимости несобственных интегра-

лов на основании признаков сравнения неравенством или отношени-

ем проводят сравнением с интегралом

+∞

. Выясним сходимость

∫

этого интеграла в зависимости от

Если p =1, то

+∞dx

= lim

N dx

lim

(ln

− ln1)= +∞,

∫

N →+∞

N→+∞

т.е. интеграл расходится.

Если p >1, то интеграл сходится:

+∞ dx

lim N x− p dx = lim

Если

N →+∞

(1 − p)x p−1

∫

x p

N →+∞ ∫

lim

N →+∞

1 − p

N p−1 −1

p −1

1, то

p <

+∞

lim

N x− p dx = lim

(N1− p −1)= +∞,

∫

N→+∞

∫

N→+∞ 1− p

интеграл расходится.

229

Итак, получили, что сходимость интеграла зависит от p:

+∞

сходится при p > 1;

(65)

∫1 x p

расходится при p ≤ 1.

+∞

6. Если несобственный интеграл

∫

f (x)

dx сходится, то несобст-

венный интеграл

+∞

f (x)dx

также сходится. В этом случае

+∞

f (x)dx

∫

называется абсолютно сходящимся, а функция

y = f (x) − абсолютно

интегрируемой на

[a, + ∞).

Примеры.

Исследовать сходимость интегралов.

Решения.

+∞

∫

3 x2 +1

+∞

. Так как p =

Используем для сравнения интеграл ∫

< 1, то

этот интеграл расходится (65).

Заметим также, что

≠

lim

А= lim = 1

x→+∞

x→+∞ x

≠ ∞

поэтому, спользуя пр знак 5, устанавливаем расходимость иссле-

дуемого

нтеграла.

+∞

∫

x3 +1

+∞

Интеграл

сходится,

т.к.

сходится

интеграл

∫

+∞

+∞ dx

x3 +1

(65).

∫

x32

230

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11