Материал: 2231

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 20

 

 

 

 

 

 

Геометрические приложения определенного интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Явное задание кривой

Параметрическое задание кривой

 

 

Полярное задание кривой

 

y = y(t)

 

 

 

 

 

 

y = y(x),a ≤ x ≤ b

 

 

 

 

 

 

 

, t1

≤ t ≤ t2

 

 

r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь криволинейной трапеции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

′

 

 

 

 

И1

ϕ

2

 

2

(ϕ)dϕ

S = ∫ y(x)dx

 

 

S =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

y(t)x (t)dt

 

 

 

 

S =

2

∫ r

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина дуги плоской кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = ∫ 1+ (y′(x))2 dx

 

 

L = ∫

 

 

(x′)2 +

(y′)2 dt

 

 

 

 

L =

∫

 

 

r2 + (r′)2 dϕ

a

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

2

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь поверхности вращения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

и

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

(x′)2 + (y′)2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2 + (r′)2 dϕ

S = 2π ∫ y

 

 

 

 

2π ∫

 

 

 

S = 2π ∫ r sinϕ

 

 

1+ (y′)2 dx

S =

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О ъем тела вращения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) вокруг оси Ох

 

 

 

 

 

а) вокруг оси Ох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вокруг полярной оси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

Vx = π ∫ y2 (t) x′(t)dt ;

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2

 

 

 

 

 

 

Vx = π ∫ y2

(x)dx;

 

 

 

V

 

=

2π

r3 sinϕ dϕ

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ∫

б) вокруг оси Оу

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

б) вокруг оси Оу

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Vy = 2π ∫ xy(x)dx

Vy = 2π ∫ x(t)y(t)x′(t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

341

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 21

Физические приложения определенного интеграла

 

 

 

I. Статические моменты относительно осей Ox и Oy дуги

плоской кривой

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

( a ≤ x ≤ b) вычисляются

по

формулам

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

dl =

1 + (y ')2 dx – дифференциал дуги

M x = ∫ ydl ;

M y = ∫ xdl ,

 

где

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Моменты инерции относительно осей

Ox

и Oy дуги пло-

ской

 

кривой

y = f (x)

 

 

( a ≤ x ≤ b)

 

Д

формулам

 

 

 

 

вычисляются

по

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + (y ')2 dx

 

 

 

 

 

Ix =

∫ y2dl ;

 

I y

=

∫ x2dl ,

 

 

где dl =

– дифференциал дуги

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

кривой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Статические моменты криволинейной трапеции, огра-

ниченной кривой y = f (x) ,

осью Ox и прямыми x = a ;

x = b, вычис-

ляются по формулам M x =

 

1 b

 

1 b

 

 

 

 

M y

b

 

=

b

 

 

 

 

∫ ydS =

 

∫ y2dx ;

= ∫ xdS

∫ xydx .

 

 

 

 

 

 

 

б

2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Моменты инерции криволинейной трапеции, ограничен-

ной кривой y = f (x) ,

осью Ox и прямыми x = a ;

x = b, вычисляются

по формулам Ix

 

b

 

 

 

 

 

 

 

I y =

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 ∫ y3dx ;

 

∫ x2dS = ∫ x2 ydx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Коорд наты центра тяжести ( x , y ) однородной дуги пло-

ской

 

кр вой

y = f (x) ,

 

 

 

a ≤ x ≤ b

 

вычисляются

по

формулам

 

1 b

 

 

 

 

 

1 b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + (y ')2 dx , а L – длина дуги.

x =

 

 

∫ xdL ;

 

 

 

y =

 

∫ ydL , где dL =

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

L a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI. Коорд наты центра тяжести ( x ,

y )

однородной криво-

л нейной

 

 

 

трапец

 

 

 

 

 

 

 

вычисляются

 

по

 

 

формулам

 

1 b

 

1 b

 

 

 

 

y =

 

 

1 b

ydS =

 

1 b

y

2

dx .

 

 

 

 

 

x =

 

 

xdS =

 

 

 

xydx ;

 

 

 

 

∫

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

и∫ ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S a

 

S a

 

 

 

 

 

 

 

 

2S a

 

 

 

2S a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII. Теоремы Гульдена.

1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

342

Окончание прил. 21

2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности,

 

 

 

t1

 

 

И

описанной центром тяжести фигуры.

 

 

 

 

VIII. Работа переменной силы f (x), действующей в направле-

нии

оси Ox на отрезке

[x0 , x1 ], вычисляется

по

формуле

x1

f (x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

A = ∫

 

 

 

Д

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

IX. Количество электричества Q, протекшего через попереч-

ное сечение проводника за промежуток времени [t1 ; t2 ]

(t1 < t2 ),

[по проводнику течет ток переменной силы I = I (t ),

где

I (t ) ≥ 0 ) ],

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

вычисляется по формуле Q = ∫

I (t )

d t .

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

343

Приложение 22

Поверхности второго порядка

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка

 

Название

Канонический вид уравнения

 

 

Эллиптический

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+

 

 

 

y

2

 

 

 

 

= 1

 

 

цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гиперболический

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

−

 

y

2

 

 

 

 

= 1

 

 

цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параболический

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 = 2py

 

 

 

 

 

цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сфера

 

(x − x0 )2

+ (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2

 

 

Эллипсоид

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

+

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

+

z

2

 

 

= 1И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

Однополостный

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

+

y

2

 

 

 

−

z

2

 

= 1

 

 

гиперболоид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

Двуполостный

 

 

 

 

 

x2

 

y2 z2

 

гиперболоид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −1

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эллиптический

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лоид

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

параб

 

 

x

 

+

y

 

 

 

= 2z,

 

 

 

 

 

 

где

 

 

p > 0; q > 0

 

 

 

p

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г пер ол ческ й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

−

y

2

 

 

= 2z

 

пара оло д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конус

второго

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

порядка

б

x

 

 

+

y

 

 

−

z

= 0

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

344

Продолжение прил. 22

Изображения поверхностей второго порядка

Поверхность второго порядка – поверхность, которая задается в

декартовой системе координат уравнением второй степени относи-

тельно координат x , y и

z .

 

И

 

 

 

 

 

 

 

Эллипсоид

 

 

 

Конус

 

 

x2

+

y2

+

z2

= 1

 

x2

+

y2

−

z2

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

+

b2

−

= 1

Двуполостный+ − = −1

 

 

 

c2

 

 

a2

 

b2

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гиперболоид

 

 

 

гиперболоид

Однополосный

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z 2

 

x2

 

y2

 

z2

 

a2

b2

c2

 

a2

 

b2

 

c2

и

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

345

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11