Материал: 2231

Приложение 15

Определенный интеграл

Интегральная сумма

n

~

– это сумма вида Sn = ∑ f

(xk )∆xk , где

k=1

функция

y = f (x)

определена

и

непрерывна

на

отрезке [a,b];

a = x0 < x1 < x2 < ... < xk−1 < xk

< ... < xn = b

–

произвольно

выбранные

точки на отрезке;

∆xk

~

– точки, произ-

= xk − xk−1 – длины отрезков; xk

вольно выбранные на отрезке [xk−1, xk ],

k =1, 2, ..., n .

на [a,b]

Определённый интеграл от функции

y = f (x)

– это

число, равное пределу

b

lim

n

~

∫ f (x)dx =

∑ f

(xk )∆xk .

n→∞

a

{∆xk

→0} k=1

Геометрический

смысл

определенного

интеграла:

если

f (x) ≥ 0

b

И

равен площади

a

криволинейной трапеции ST

(рис. 54)

Д

y

y = f (x)

T

0

a

b

x

А

Рис. 54

Свойства определенного интеграла:

a

1.

∫ f (x)dxб= 0.

a

2.

b

a

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

a

b

и

b

b

b

3.

∫[f (x) ± g(x)]dx

= ∫

f

(x)dx

±∫ g(x)dx .

a

a

a

4.

b

b

f (x)dx.

∫c f (x)dx

= c∫

a

a

b

С

5.

∫c dx = c(b − a) .

a

Приложение 16

Несобственные интегралы I рода

венном смысле слова) называется интеграл от непрерывной функции

по конечному отрезку.

пределу

С, интеграл сходится;

+∞

N

∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx

= ∞, интеграл расходится к ∞;

a

N→+∞ a

интеграл расходится.

не существует,

+∞

f (x)dx = lim

S(N)

равен площади криволи-

собственный интеграл ∫

a

N→+∞

И

нейной трапеции с бесконечным основанием (рис. 55).

y

Д

S (N)

0

a

N → +∞

x

Рис. 55

a

II.

Несо ственный

А

− это предел вида

нтеграл

∫ f (x)dx

−∞

a

f (x)dx

a

∫

= lim ∫ f (x)dx

.

−∞

N→−∞бN

III. Несобственный

нтеграл

+∞

∫ f (x)dx

разбивается в сумму

−∞

a

+∞

+∞

f (x)dx

∫

f (xи)dx + f (x)dx, где a – произвольное число. Интеграл

∫

∫

−∞

a

−∞

сходится, если сходятся оба указанных интеграла. Если хотя бы один

+∞

из них расходится, то

∫ f (x)dx расходится.

С

−∞

334