Материал: 2231

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Приложение 17

Несобственные интегралы II рода (интегралы

с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

I. Несобственным интегралом	b	И
	∫ f (x)dx от функции, опреде-

ленной и непрерывной на конечном интервале [a, b) и разрывной в

						b				t
точке b , называется число, равное						∫	Д
точке b , называется число, равное						∫	f (x)dx =		lim	∫ f (x)dx .
						a			t→b−0	a
	Геометрический смысл несобственного интеграла II рода:
если		f (x) ≥ 0	на [a, b) и функция разрывна в точке b , то несобствен-
ный интеграл			b		А∫
ный интеграл			∫ f (x)dx равен площади криволинейной трапеции с
			a
бесконечной высотой (рис. П. 17.1).
					y = f (x)
			б∫			∫	t → b	b
	и				a		t → b	b
	и				Рис. П. 17.1
					Рис. П. 17.1
	II. Несо ственным				нтегралом b			f (x)dx от функции, опреде-
							a
лена		непрерывна на		нтервале (a, b] и разрывной в точке a , называ-
ется ч		сло, равное b		f (x)dx = lim		b f (x)dx .
			a		t→a+0 t		b
	III. Несобственный				нтеграл		b
	III. Несобственный				нтеграл		∫ f (x)dx		от функции y = f (x) ,

определена непрерывна на интервале [a, b], кроме точки c (a, b), в которой функция имеет разрыв 2-го рода, разбивается в сумму двух

	b	c		b
несобственных интегралов	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx			+ ∫ f (x)dx .			Интеграл
b	a	a	c	c		b
b			c	f (x)dx	и	b	f (x)dx .
Сf (x)dx сходится, если сходятся оба интеграла			∫	f (x)dx	и	∫	f (x)dx .
∫			∫			∫
a			a			c

336

Приложение 18

Основные варианты применения определенных интегралов

Определенный интеграл используется при вычислении:

1)	площади фигур, ограниченных кривыми;
2)	длины дуг различных кривых;
3)	объемы тел, образованных вращением плоских фигур вокруг
осей координат;
4)	площади поверхностей, образованных вращением дуги кри-
вой вокруг осей координат.
1)	путь, пройденный точкой (по известной скорости);
2)				И
	работа силы, под воздействием которой перемещается точка
вдоль осей координат;
3)	статические моменты и центр тяжести плоской фигуры;
4)	количество электричества, протекающего через поперечное
сечение проводника за промежуток времени и т.д.
			Д
		А
иб

337

									Приложение 19
		Приложения определенного интеграла
	I. Площадь плоской фигуры.
	а) Площадь		криволинейной					трапеции,	ограниченной кривой
y = f (x) ≥ 0,		прямыми x = a;			x = b;			y = 0 (рис. П. 19.1), вычисляется
		b							И
по формуле		S = ∫ f (x) dx .
		a
								y = f (x)
				a				b
					Рис. П. 19.1

	б) Площадь фигуры,			ограниченной кривыми y = f (x) ; y = g(x)
( f (x) ≥ g(x)), прямыми x = a;					x = b			(рис. П. 19.2), находится по фор-
муле S = ∫b ( f (x) − g(x))dx .								Д
	a
								y = f (x)
				А
				a			y = g (x) b
					Рис. П. 19.2
		б
	в) Площадь кр вол нейной трапеции в случае параметрическо-
го		кривой x = x(t)				(рис. П. 19.3) выражается формулой
			y = y(t)

	задания
	t2		где t1		t2				уравнений a = x(t1 );
S = ∫ y(t) x'(t)dt ,			где t1	и	t2	находятся из			уравнений a = x(t1 );
	t1		при t [ t1, t2 ].
b = x(t2 ) и y(t) ≥ 0			при t [ t1, t2 ].
С
						338

Продолжение прил. 19

Рис. П. 19.3

г) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, за-

данной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), прямыми ϕ = α

и ϕ = β ; α < β (рис. П. 19.4), находится по формуле S =

∫r2 (ϕ)dϕ .

r = r(ϕ)

Рис. П. 19.4

II.

Длина дуги кривой

а) Если функция

y = f (x)

непрерывна,

ее производная

f '(x)

непрерывна

на

[a, b],

тоАдлина L дуги

кривой

равна

1+ ( f '(x))2 dx .

L = ∫

x = x(t)

б)

α ≤ t ≤ β ,

кр

вая задана параметрически

y = y(t)

a = x(α) ,

b = x(β ), то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Если

L = ∫ (x

'(t))

(y '(t)) dt .

в)

Если

кривая

задана

полярных

координатах

r = r(ϕ),

α ≤ ϕ ≤ β ,

то

длина

дуги

кривой

вычисляется

по

формуле

СL = r (ϕ) +

'(ϕ)) dϕ .

∫

339

Окончание прил. 19

III. Объем тела вращения

а) Объем тела, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) , прямыми x = a ; x = b ;

	b	И
y = 0 вокруг оси	Ox , равен Vx = π ∫ y2 (x)dx.
	a

б) Объем тела, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) , прямыми x = a ; x = b ;

y = 0 вокруг оси Oy , равен Vy = 2π ∫ x y(x)dx .

IV. Площадь поверхности вращения

а) Поверхность, образованная вращением вокруг оси Ox непре-

рывной кривой y = f (x) ,

x [a, b]

( f (x) ≥ 0

на [a, b]; производная

y '= f '(x)

непрерывна

на

[a, b]),

имеет

площадь

S = 2π ∫ f (x)

1+ ( f '(x))2 dx .

б) Площадь поверхности вращения в случае, если кривая зада-

x = x(t)

, t1 ≤ t ≤ t2

, вычисляется по фор-

на в параметрическом виде

y = y(t)

муле

S = 2π ∫

y(t) (x '(t))2 + (y '(t))2 dt .

в) Площадь поверхностиАвращения в случае, если кривая задана

в полярных коорд натах r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β , вычисляется по формуле

r2 + (r ')2 dϕ .

S = 2π ∫ r sinϕ

340

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11

Материал: 2231

Приложение 17

Приложение 18

Приложение 19

Смотрите также: