Материал: 2231

Таблица производных

1. c′ = 0.

′

1

8. (ctgx) = −

.

2. (xm )′ = mxm−1;

sin2 x

9. (arcsin x)′ =

1

(x)′ = 1;

.

1 − x2

(

)′ =

1

.

Д

x

2 x

1

10. (arccos x)′ = −

.

3. (ax )′ = ax ln a;

1 − x2

(ex )′ = ex .

11. (arctgx)′ =

1

.

2

И1 + x

4. (loga x)′ =

1

;

′

1

xln a

12. (arcctgx)

= −

.

б

1 + x2

(ln x)′ =

1 .

x

5. (sin x)′

= cos x.

-----------------------------------------

′

′

′

и

(uv)

= u v + uv ;

6. (cos x)′ = −sin x.

А

′

′

′

u

=

u v − uv

;

С

1

7. (tgx)′ =

2

x

.

v

v2

cos

f

′

′

′

(u) =

fu

u .

Приложение 13

Таблица интегралов

1.

∫0dx = C .

2.

∫1dx = ∫dx = x + C .

3.

∫ x

n

dx =

xn+1

+ C,

n

≠ −1.

n +1

И

∫ dx

4.

= ln

x

+ C, x ≠ 0.

x

ax

5.

∫a

x

dx =

+ C, a > 0, a ≠1;

ln a

∫ex dx = ex

+ C .

6.

∫cos xdx = sin x + C .

7.

∫sin xdx = −cos x + C .

8.

∫

dx

= tgx + C .

2

x

cos

б

9.

∫

dx

= −ctgx + C .

2

x

sin

10. ∫

dx

=

1 arctg

x

+ C = −

1 arcctg

x

+ C,

a ≠ 0 .

x

2

2

a

a

+ a

a

a

11.

dx

1

x − a

+ C,

a ≠ 0,

x ≠ ±a .

∫

=

ln

2

2

x

− a

А

x + a

12.

∫

dx

= arcsin

x

+ C = −arccos

x

+ C,

x

< a, a ≠ 0 .

2

2

С

a

a

13.

∫

dx

= ln

x +

x

2

+ a

+ C, a ≠

0, x ≠ ± − a .

x

2

+ a

∫udν

= uν

−

∫νdu.

выходящие из [a,b]. Верна формула

∫ f (ϕ(x)) ϕ'(x)dx = F(ϕ(x))+ C .

Линейная замена переменных:

∫ f (a x + b)dx = 1 F(a x + b)+ C .

n

Дn

a

∫

∫

u

u

3.

xn ax dx.

4.

∫

xn log xdx.

∫

a

u

u

5.

∫

xn arctgxdx.

6.

∫

xn arcctgxdx.

u

u

7.

∫

x arcsinxdx.

8.

∫

x arccosxdx.

u

u

9.

∫

ex cosxdx.

10.

ex sinxdx.

∫

u

u

А

Рац ональная

–

вида

P(x)

, где Р(х), Q(х)– много-

войство:

от правильной рациональной дроби

P(x)

Q(x)

может быть представлен в виде суммы интегралов от элементарных

дробей:

t = x + a;

1.

∫

dx

=

∫

dt

= ln

t

+ C = ln

x + a

+ C.

Сx + a

dx = dt.

t

2.

∫

dx

t = x + a;

= ∫

dtα

= ∫t−α dt =

t−α +1

+ C =

(x + a)

α

dx = dt.

− α +1

t

=

1

+ C, α ≠ 1.

(1− α)(x + a)α −1

3.

∫

ax + b

dx;

4. ∫

dx;α ≠1.

x

2

(x

2

α

+ px + q

+ px + q)

Д

t = tg

x

;

dx =

2dt

;

И

2

1+ t2

sin x =

2t

; cos x

=

1− t2

.

1

+ t2

1

+ t2

подстановку

t = cos x; dt = −sin xdx

;

б)

n – нечетное положительное целое число, то применяют

А

подстановку

t = sin x; dt

;

в)

m n – четные положительные целые числа, то исполь-

зуют тр гонометр ческ е формулы

б1

2

1

sin x cos x

=

2 sin 2x;

cos

x =

2 (1+ cos 2x) ;

sin2 x =

1

(1− cos 2x) ;

sin2 x + cos2 x = 1.

2

еслиm

xdx и ∫ctg

m

xdx,m Z+ вычисляют, используя

3. Интегралы ∫ tg

формулы tg

2 x =

1

−1; ctg2 x =

1

−1.

cos2

x

sin2

x

4. Интегралы

∫sin mxcosnxdx; ∫cosmxcosnxdx; ∫sin mxsin nxdx

С