Материал: 2231

Производная функции u = u (x, y , z )

по направлению вектора

→

M М1 ,

направляющими

косинусами

которого

являются

∂ u

= u′x

cosα + u′y cos β + u′z cosγ .

→

∂ M M1

Д

Основное свойство направляющих косинусов:

cos 2α + cos 2β + cos2 γ = 1.

Градиент функции u = u (x, y , z ) – это вектор, координатами

→

′ ′ ′

∂ u

∂ u

∂ u

;

;

И

grad u = {ux ; uy ; uz }=

∂ x

∂ y

∂ z

.

роста функции, т.е. производная функции по направлению достигает

своего наи ольшего значения в направлении градиента. Таким обра-

зом, градиент функции указывает направление наибыстрейшего ее

Производн4.

аяфункции u = u (x, y , z ) в направлении вектора a

наибыстрейшего у ывания).

2. Значен е про зводнойАфункции по направлению градиента

равно дл не (модулю) град ента:

С

∂ u

2

→

=

u′x + u′y

+ u′z .

б∂ grad u

3. Град ент функц

u в точке M0

направлен по нормали к по-

= Пр→ grad u .

∂ a

a

Функция

z = f (x, y)

имеет локальный максимум (локальный

минимум) в точке M0 (x0 , y0 ), если существует такая окрестность

точки

M0 ,

всех точках M (x , y) ≠ M0 (x0 , y0 ), из которой выполняет-

ся неравенство

f (x, y) < f (x0. y0 ) ( f (x, y) > f (x0. y0 )).

Критические точки функции

z = f (x, y) – это точки, в кото-

Д

z′x (x0 , y0 ) = 0;

z′y (x0

, y0 ) = 0.

А

Точки, удовлетворяющие системе, называют Истационарными.

(Каждая стационарная точка является также критической.)

Точки локальных максимумов и локальных минимумов называ-

ются экстремумами.

z = f (x, y)

имеет экстремум в точке M0 (x0 , y0 ),

то в этой точке полный диффе-

ренциал функции в этой точке d z (x0 , y0 ) = 0 или d z (x0 , y0 ) не суще-

и

ствует.

Достаточное услов е экстремума: пусть второй дифференци-

ал функц

z = f (x, y) в критической точке

M0 (x0 , y0 )

имеет вид

d 2 z (M0 ) = Ad x2 + 2 B d x d y + C d y2

и при этом верно неравенство

С

′′

′′

D = AC − B2

=

>

0, тогда

функция

z = f (x, y)

B C z′y′x

M0

имеет в точке M0 (x0 , y0 )

–

локальный минимум, если A > 0;

–

локальный максимум, если A < 0.

2.

н це области D. Это можно сделать, например, находя условные экс-

тремумы функц

z = f (x, y)(условиями выступают уравнения гра-

н ц области D).

3.

всех найденных значений функции найти наибольшее

реди

и наименьшее.

некотором интервале, если производная

И

F(x) на этом интервале рав-

на одном промежутке первообразную

Д

F(x), то любая ее первообраз-

ная на этом промежутке может быть получена при некотором значе-

нии C = C0 из формулы F(x) + C .

Неопределенным интегралом от функции

y = f (x)

называется

А

совокупность всех ее первообразных:

∫ f(x)dx = F(x) + C ,

где F(x) –

любая из первообразных функций для

f (x); С – произвольная посто-

янная.

Обозначения:

б

– знак неопределенного интеграла: ∫ ;

– подынтегральное выражение: f(x)dx;

– подынтегральная функция: f(x);

Если

– переменная интегрирования: х.

1. d(∫ f(x)dx)= f(x)dx .

2.

∫dF(x) = F(x) + C .

С

3.

∫( f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx .

4. ∫ Af(x)dx = A∫ f(x)dx.

5.

∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x) –

дифференцируемая

функция, то ∫ f (u)du = F(u) + C .