Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Приложение 2

Частные производные

Приращением функции

z = f (x, y),

или полным приращением

функции по переменным x и y в точке M0 , называется разность вида

∆z(M0 ) = z(M )− z(M0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 ).

Частное приращение функции z = f (x, y) по переменной x

точке M0 , обозначается ∆x z(M0 ) и имеет вид

∆x z(M0 ) = z(M1 )− z(M

0 ) = f (x0 + ∆x, y0 )− f (x0 , y0 ).

Частное приращение функции z = f (x, y) по переменной

точке M0 , которое обозначается символом ∆y z(M0 ), имеет вид

∆ y z(M 0 )= z(M 2 )−z(M 0 )= f (x0 , y0 +∆y)− f (x0 , y0 ).

Частными производными функции

z = f (x, y) в точке M0

по

переменной x (или по переменной y) называют пределИотношения ча-

стного приращения функции к соответствующему приращению аргу-

мента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

z′x (M0 )

= lim

∆x z(M0 )

lim

(x0 + ∆ x, y0 )− f (x0 , y0 )

;

∆x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

z′y (M0 )

= lim

∆y z(M0 )

lim

f (x0 ,

y0 + ∆ y)− f (x0 , y0 )

ли

∆y

∆ y→0

∆ y

∆y→0

Обозначен е:

z′x (M0 ) = ∂z

, z′y

(M0 ) =

∂z .

А∂x ∂y

Ф з ческ й смысл частных производных: частные производ-

ные z′x (M0 ), z′y (M0 )

– это мгновенная скорость изменения функции

з точки M

в направлении, параллельном

z = f (x, y)

при дв жен

оси Оx

Oy .

Геометр ческ й смысл частных производных: частные произ-

водные z′x

(M0 )

, z′y

(M0 )

равны тангенсам углов α и β , которые об-

разуются между осями координат Ox, Oy и касательными к кривым, образованными при пересечении поверхности z = f (x, y) с плоскостя-

ми y = y	0	и x = x	0	( M	0	– точка касания): z′x (M0 ) = tg α ; z′y (M0 ) = tg β .
	0		0		0

316

Приложение 3

Частные производные высших порядков

Вторые производные – это производные от первых производных:

∂

∂ z

∂

∂ z

′

∂

′

∂

∂ x

(z′x ) x

= z′x′x

∂ x

∂ x2

;

(z′x ) y

= z′x′y =

∂ y

∂ x ∂ y

;

∂ z

∂

∂ y

∂

(z′y )′x = z′y′x

;

(z′y )′y = z′y′y

∂ y

∂ x

∂ y ∂x

∂ y

∂ y2

Третьи производные получаются в результате дифференциро-

вания производных второго порядка. Получим восемь производных

∂3 z

третьего порядка: z′x′′x x =

∂3

; z′x′′x y =

∂3

;

z′x′′y y =

и т.д.

∂ x

∂ y

∂ x ∂ y

Смешанные частные производные второго, третьего и т.д. по-

рядков – это частные производные

z′x′y ; z′y′x ; z′x′′x y ; z′x′′y y , …

Теорема. Если частные производные n -го порядка непрерывны,

то смешанные производные одного порядкаД, отличающиеся лишь по-

рядком дифференцирования, равны между собой.

317

Приложение 4

Дифференцирование функции нескольких переменных

Дифференцируемая в точке M (x0 , y0 ) функция – это функция z = f (x, y), такая, что область ее определения содержит некоторую окрестность точки M (x0 , y0 ), и для каждой точки M (x, y) из этой окрестности приращение функции имеет вид

∆ z(x , y) = A∆ x + B ∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆ y,

где А и В не зависят от ∆ x и ∆ y ;			α ( ∆ x, ∆ y) и β ( ∆ x, ∆ y) – беско-
нечно малые функции при ∆ x →0; ∆ y →0.
Свойства дифференцируемой функции:
1. Если функция z = f (x, y)			дифференцируема в некоторой точ-
ке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если функция z = f (x, y)			дифференцируемаИв некоторой точ-
ке M (x, y), то она имеет частные производные в этой точке, причем
z′x (x, y) = A; z′y (x, y) = B .
3. Функция может		непрерывной, но не иметь производных
в этой точке.				Д
Достаточные условия дифференцируемости функции двух
переменных:	если функция	z = f (x, y) непрерывна, имеет в точке
M (x, y) частные производные и эти производные непрерывны в не-
которой	точкиАM (x, y), то эта функция дифференцируе-
ма в этой точке.быть
окрестности
С

318

Приложение 5

Дифференцирование сложных и неявных функций

I. Полная

производная

функции z = f (x, y), если x = x(t ) ,

y = y

условии

III. Дифференцирование неявной функций F(x, y) = 0 одной пе-

∂ F

ременной

∂ z

А∂ z ∂ y Д

∂ x

переменных:

= −

;

= −

∂ x

∂ F

∂ y

∂ F

∂ z

319

Приложение 6

Полные дифференциалы

Дифференциал,

или полный дифференциал первого порядка

функции z = f (x, y),

дифференцируемой в некоторой точке, называ-

ется главная линейная часть ее приращения.

Обозначение: d z .

Вид полного дифференциала первого порядка:

d z =

∂ z

d x +

∂ z

d y .

∂ x

∂ y

Геометрический смысл полного дифференциала: полный

дифференциал

d z функции

двух переменных

z = f (x, y) в точке

M (x, y) равен изменению значения функции, если поверхность гра-

фика функции

заменить

касательной

плоскостью

к поверхности

z = f (x, y) с точкой касания M (x, y).

Формула 1 приближенных вычислений с помощью дифференциа-

ла:

∆ z(x , y

)

≈

∂ z

, y

)∆ x +

∂ z

(x ,

y )∆ y .

∂ x

∂ y

Формула 2 при лиженных вычислений с помощью дифференциа-

ла: z(x0

+ ∆ x

y0 + ∆ y)

≈ z(x0 , y0 )+

∂ z

(x0 , y0 )∆ x +

∂ z

(x0 , y0 )∆ y .

∂ x

∂ y

Полные д фференциалыАвысших порядков

Д фференц ал второго порядка – это дифференциал от диф-

( d z):

ференц ала первого порядка, т.е. d 2 z = d

′′

z = z xx d x

+ 2 zxy d x d y + zy y d y .

Д фференц ал третьего порядка d 3 z = d (d 2 z) имеет вид

′′′

z = z xx x d x

5 zx x y d x

d y + 3zx y y d x d y

+ zy y y d y

Полный дифференциал порядка n: d n z = d

(d n−1z).

Формула Тейлора функции одной и нескольких переменных:

f (x) = f (M0 )+

d f (M0 )

d 2 f (M0 )

+ ... +

d n f (M0 )

+ .... .

320

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11