Материал: 2231

Ссылки на видео внутри текста кликабельны

Введение

Раздел математического анализа «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» («Многомерный анализ», «Многомерное или многовариантное исчисление») является продолжением раздела

«Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной» и служит фундаментом при изучении последующихИчастей мате-

матического анализа, таких как «Кратные интегралы», «Численные методы», «Уравнения математической физики» и др.

«Интегральное исчисление» – раздел математики, в котором изуча-

ются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. нте-

вместе с которым оно составляет основнуюДчасть математического анализа (или анализа есконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики.

гральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых).

Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную ма-

ференциального исчисления и обосновали взаимно обратный характер опе-

тематическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина XVII в.). ОниАсформулировали основные положения диф-

раций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференци-

альное исчисление развивается в тесной связи синтегральным исчислением,

Древней Грец . Однако разра отанные античными математиками методы были пр мен мы л шь в весьма частных случаях.

Некоторые задачи раздела «Дифференциальное исчисление функции Снескольк х п ременных» могут найти непосредственное применение на практ ке, напр мер по ск экстремума функции нескольких переменных, интерпол рован е функц й по методу наименьших квадратов и интерпо-

Отдельные задачибдифференциального исчисления – задачи определенияВозникновениекасательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значен й переменных величин – ыли решены ещё математиками

лирование сплайнами, вариационное исчисление и т. д.

задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл метод исчерпывания, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле.

3

Лишь в XVI и XVII вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 г. (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важней-

ших отправных пунктов дальнейшего развития интегрального исчисления. Античный метод «неделимых» был возрожден И. КеплеромИ. В более об-

щей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимноАобратной связи между задачами на

проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм интегрального

каждом разделе представлены необходимый теоретический материал, вопросы и задания для самопроверки. Изложение теоретического материала сопровождается большим числом примеров решения задач по изучаемым темам. Проведены задачи для самостоятельного решения.

Необходимый теоретический материал приводится в приложениях.

4

РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Основные понятия

На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем не-

сколько примеров.

Примеры.

1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника a и b : S = a b.

2. Работа электрического тока A на участке цепи зависит от трех

подмножеством числовой плоскости Oxy, т.е. плоскости R2 . Множе-

ство Z – множество значений функции двух переменных, Z R .

5