Материал: 2231

менных – это кривые с уравнениями

4 − x2 − y2

= С, С ≥ 0. Возведем

в квадрат обе части этого

уравнения, получим уравнения вида

x2 + y2 = 4 − С2 , причем 0 ≤ С ≤ 2. Получили, что линии уровня С –

это окружности радиусом 0 ≤

4 − С2

≤ 2 с центром в начале коорди-

нат (рис. 5).

И

Рис. 5

По виду линий уровня можно получить представление о виде гра-

фика поверхности z = f (x, y)

аналогично тому, как мы получаем ин-

Д

формацию о поверхности исследуемой местности по геодезическим кар-

там. Понятие линии уровня широко используется, прежде всего, в геоде-

зии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при опи-

сании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Еще одн м пр емомА, который часто используют при построе-

н ях поверхностей, является метод сечений. Этим методом мы стро-

м поверхность, сследуя ее сечения, параллельные координатным

плоскостям.

б

=25. Это эллипс с каноническим уравнением

x2

+

y2

= 1.

1

25

По виду сечений строим поверхность z = (5x)² + y². Эта поверх-

И

ность называется эллиптическим параболоидом (рис. 6).

Рис. 6

Д

б

1

1

2. Построить график функции z =

1+ x

2

+

1+ y

2

.

Решение. Если найти сечение поверхности плоскостями, парал-

лельными плоскостям Оzx, Ozy, то получим кривые вида z =

1

+ c

и

1+ x2

и z =

1

+ с ,

зо раженные на рис. 7.

1

+ y

А

С

Рис. 7

1

При x=a, или y=a, получаем, что

c =

.

1+ a2

Оxy, то в зависимости от того, чему равно z, сечение может принять

разный график. Если z ≤ 1, то ветви кривой не соединяются на осях,

т.г. имеют разрывы по осям координат (рис. 8, а), если z > 1 – ветви

кривой соединяются на пересечении с осями Оx и Оy, т.е. кривая не-

прерывна (рис. 8, б):

И

Д

а

А

б

Рис. 8

б

1

1

Нарисовав сечения, строим поверхность z

= 1+ x2

+ 1+ y2 (рис. 9).

и

С

Рис. 9

ной переменной, могут быть сформулированы аналогичным образом

для функции нескольких переменных.

И

Число

A

называется

пределом функции

z = f (x, y)

в

точке

M0 (x0 , y0 ) ,

если для любой последовательности точек { M n (xn , yn ) },

сходящейся к точке M0

(M n

≠ M0 ) при n → ∞ , соответствующая чи-

словая последовательность {f (M n )} сходитсяДк A при п →∞ .

Схематическая

запись

данного

определения имеет

вид

lim

f (M n ) = A {M n } → M0 ;

{f (M n )} → A.

n→∞

n→∞

)

n→∞

(x

) = A.

Обозначение:

lim

f (M

n

= A, или

lim f

n

, y

n

Mn→M0

xn→x0

А

yn→y0

Дад м еще одно определение предела функции нескольких пере-

менных.

A

пределом функции

z = f (x, y)

Ч сло

называется

в

точке

M0 (x0 , y0 ) ,

б

если

ε > 0 ,

достаточно

малого,

найдется

δ (ε )-окрестность точки M0 ,

такая, что для всех точек M , принадле-

жащих этой

, выполнено неравенство

f (M )− A

< ε

, т.

окрестности

е. значения функции

f (M ) принадлежит ε -окрестности числа A , ес-

ли точка М лежит в δ (ε )-окрестности точки M0 .

Функция z = f (x, y)

не имеет предела в точке M0 (x0 , y0 ) ,

если

существуют

хотя

бы

две

различные

последовательности

точек

1

2

}→ M

,

такие, что числовые последовательности

С{M } → M , {М

т

0

т

n→∞

0

n→∞