Материал: 2231

z′x′′x x

=

∂3

z

;

z′x′′x y =

∂3 z

;

z′x′′y y =

∂3 z

и т.д.

∂ x3

∂ x2

∂ y

∂ x

∂ y2

Теорема.

Д

Если частные производные n -го порядка непрерывны,

то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь по-

рядком дифференцирования, равны между собой.

Замечание. В разных источниках этот результат указывается как

теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

И

Пример.

А

Найти

частные производные первого

порядка функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0 (1; − 2).

Решение.

б

Воспользуемся определением частных производных

функции. Значения частных приращений этой функции вычислены в

предыдущем примере:

нахождения

∆x z(M0 )

− 6 ∆ x

z′

(M

)

= lim

= lim

= −6;

x

0

∆x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

С

z′ (M ) = lim

∆y z(M0 )

= lim

4 ∆ y

= 4 .

y

0

∆y→0

∆y

∆ y→0 ∆ y

в роли постоянных.

Примеры.

1. Найти частные

производные первого порядка функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0

(1; − 2).

переменной x. С y при этом обращаемся как с константой:

И

z′x = (xy − 4x + 3y)′x = (x y)′x − (4 x)′x + (3

y)′x = y (x)′x −

− 4(x)′x + (3 y)′x = y 1 − 4 1 + 0 = y − 4.

Д

Подставим теперь координаты точки M

0 (1; − 2), получим

Подставим теперь координаты точки M0 (1; − 2), получим

Найтиx

x

x + y

2

x

x + y2

z′y

(M0 ) = 1+ 3 = 4 .

2.

частные

производные

первого

порядка функции

С

z = ln(x + y2 ).

Решен е. Вычбсляем производную по правилу дифференциро-

ван я сложной функц :

2

′

1

2 ′

1

z

′

= [ln(x + y

)] =

(x + y ) =

;

z′y = [ln(x + y2 )]y′ =

2y

.

x + y2

∂ z

= 6x2 − 0 + 3 y 1− 6 1 = 6x2

+ 3 y − 6 (при вычислении y счи-

∂ x

тали постоянной);

∂ z

= 0 − 20y3

+3 1x − 0

= −20 y3 + 3 x (при вычислении x считали

∂ y

постоянной).

Вычисляем частные производные второго порядка:

∂2 z

А

И

∂ x2

= (6x

+ 3 y − 6)x

= 12 x + 0 − 0 = 12 x ;

б

∂2 z

= (6x2

+ 3 y −

6)′y = 0 + 3 − 0 = 3;

∂ x ∂y

Д

равными

∂2 z

= (−

20 y3 +

3 x)′x = 0 + 3 = 3;

∂ y ∂x

С

∂2 z2 = (− 20 y3 + 3 x)′y = −60 y2 + 0 = −60 y2 .

∂ y

Отмет , что смешанные производные

∂2 z

и

∂2

z

получи-

∂ x ∂y

∂ y

∂ x

лись

. Так

должно быть по те ореме о равенстве смешанных

производных.

∂3 z

′

И

= (12 x) y = 0

;

∂ x2∂ y

∂3 z

= (− 60 y2 )′x =

0 .

∂ y2∂ x

А

Остальные производные третьего порядка равны нулю, т.к. это

ная отлична от нуля:

б

∂4

z

= (−120 y)′y Д= −120.

∂ y4

Вычис

Производные пятого и олее высоких порядков все равны нулю.

4.

лить частные производные первого порядка функции

трех переменных u = xe

xy

− ln(x z) + cos(y z) .

С

∂u = exy

+ x y exy −

z

= exy + x y exy −

1

;

x

∂x

x z

∂u

= x2 exy − z sin ( y z);

∂y

∂ u

= −

x

− y sin (y z) = − 1 − y sin (y z).

∂ z

x z

z

∂ z

= 6x2 y − 0 = 6x2 y (при вычислении y

И

∂ x

∂ z

= 2x3 1+ 3 4 y3

− 0 = 2 x3 −12 y3 (при вычислении x считали

∂ y

Д

постоянной).

Вычисляем частные производные второго порядка:

∂2 z

= (6x2 y)′x = 12 x y ;

∂ x2

∂2

z

=

(6x2 y)′y = 6 x2

;

б

∂ x ∂y

∂2 z

= (2 x3 −12y3 )′x = 6 x2 −

0 = 6 x2 ;

∂ y

∂x

и

2

′

∂ z

3

А3 2

2

С

∂ y2

= (2x

−12 y

) y

= 0 − 36 y

= −36 y

.

∂2 z

∂2 z

Замет м, что

=

.

∂ x ∂y

∂ y ∂ x