Материал: 2231

lim

x − y

=

0

= lim

x − 2x

=

−1

.

x→0

x + y

0

x→0

x + 2x

3

y→0

y→0

Итак, предел принимает разные значения при движении к точке

O(0, 0)

по разным путям. Это означает, что предел не существует.

Функция

z = f (x, y) непрерывна в точке M0 (x0 , y0 ) , если она

определена в этой точке,

и

lim

f (M )= f (M

0 ).

M →M0

Функция

z = f (x, y)

непрерывна в области D,

если она непре-

рывна в каждой точке этого множества.

И

Точка M

называется точкой разрыва функции

z = f (x, y), если

точка М принадлежит области определения функции или ее границе и

не является точкой непрерывности.

Из определения непрерывности функции нескольких перемен-

б

Д

ных в точке и предела функции в точке можно установить, что все

свойства непрерывных функций одной переменной верны и для

функций нескольких переменных.

Свойства функц й, непрерывныхАвограниченной замкнутой области

Если функц я z = f (x, y)

непрерывна в ограниченной замкну-

той

, то

– она огран чена в этой области;

– пр н мает в ней свои наименьшее и наибольшее значения;

– принимает в ней все промежуточные значения между наи-

меньшим наибольшим.

области

Примеры.

1

1.

Исследовать функцию на непрерывность z =

.

x2 + 4y2

СРешение. Областью определения функции является координат-

точка O(0, 0) – это точка разрыва графика функции z =

1

.

x2 + 4y2

Для определения типа разрыва найдем предел функции при

стремлении к точке O(0, 0).

lim

1

= +∞ .

И

x→0

x2

+ 4y2

y→0

Итак, точка (0, 0)– точка разрыва второго рода.

Д

2. Исследовать функцию на непрерывность z

=

1

.

Решение.

x − y

Область

определения

функции

x − y ≠ 0. Поэтому

функция z =

1

непрерывна всюду в R2 , кроме точек прямой y = x .

x − y

В этих точках функция имеет разрыв второго рода.

§4. Частные производные

Приращение функции

точки

,

определенную, непрерывную

Рассмотрим функцию z = f (x, y)

в некоторой

ласти D. Пусть точки M

0

(x0 , y0 ) , M ′(x0 + ∆x, y0 + ∆y), а

также

M

1

(x

0

+∆x, y

0

)Аи M (x , y +∆y) принадлежат области D.

2

0

0

Выражен я ∆x ∆y о означают величины изменения перемен-

ных называются пр ращениями аргумента по переменным x и y .

С

0

Обычно предполагаетсяб, что значения ∆x и ∆y малы.

Пр ращен ем функц

, или полным приращением функции по пе-

ременным x

y в точке M0 , называется разность вида

И

Аналогично, если зафиксировать

переменную x = x0 ,

получим

частное приращением функции по переменной y в точке M0 , которое

обозначается символом ∆y z(M0 ) и имеет вид

Д

∆ y z(M 0 )= z(M 2 )−z(M 0 )= f (x0 , y0 +∆y)− f (x0 , y0 ).

Частные приращения функции – это изменения значений функ-

ции при

переходе

точки

M0

к

точкам

M1(x0 +∆x, y0 ) и

M 2 (x0 , y0 +∆y), т.е. при движении от точки M0

параллельно коорди-

натным осям Ox и Oy.

Пример.

Найти

полное

приращение,

частные приращения

функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0 (1;

− 2).

б

Решение. Воспользуемся определением полного приращения

функции:

и

∆ z (M

0 ) = z (1+ ∆ x, − 2 + ∆ y)− z(1,−2) =

= (1+ ∆x) (− 2 + ∆y)− 4А(1+ ∆x)+ 3 (− 2 + ∆y)− (− 2 − 4 − 6) =

= −2 + ∆ y − 2∆ x + ∆ x ∆ y − 4 − 4∆ x − 6 + 3 ∆ y +12 =

= 4 ∆ y − 6 ∆ x + ∆ x ∆ y .

Теперь найдем частное приращение функции по x:

∆x z (M0 ) = z (1+ ∆ x, − 2)− z(1,−2) =

= (1+ ∆x) (− 2)− 4(1+ ∆x)+ 3 (− 2)− (− 2 − 4 − 6) =

С= −2 − 2∆ x − 4 − 4∆ x − 6 +12 = − 6 ∆ x .

Частные производные первого порядка

Определение производной функции нескольких переменных ана-

′

А

логично определению производной функции одной переменной.

Частными производными функции z = f (x, y) вИточке M по пе-

0

Обозначение частных производных:

z′x (M0 ) =

∂z

; z′y

(M0 ) =

∂z

.

∂x

∂y

Итак, по определению, имеем равенства

Физический

f (x0

+ ∆ x, y0 )− f (x0

, y0 )

zx (M0 ) = lim

∆x z(M0 )

= lim

;

∆x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

С

∆

z(M

)

f (x0 , y0 + ∆ y)− f (x0 , y0 )

z′y (M

0 ) =бlim y 0

= lim

.

∆y→0

∆y

∆ y→0

∆ y

Геометрический смысл частных производных

Частные производные z′x (M0 ),

z′y (M0 ) равны тангенсам углов α

и β , которые образуются между осями координат Ox, Oy и касатель-

ными к кривым, образованными при

пересечении поверхности

z = f (x, y) с плоскостями y = y0 и

И

x = x0

( M0 – точка касания), т.е.

верны равенства (рис. 11):

z′x (M0 ) = tg α ;

z′y (M0 ) = tg β .

Д

А

б

Рис. 11

Частные производные высших порядков

ные первого порядка z′x (M0 ),

z′y (M0 ), то производных второго поряд-

ка будет четыре:

∂ z

∂

2

∂

∂ z

2

и

∂

z

′

∂

z

′

∂ x

∂ x

(z′x ) x = z′x′x

=

=

∂ x2

;

(z′x ) y = z′x′y

=

=

;

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

∂ z

∂ z

∂

∂

2

2

(z′y )′x = z′y′x =

∂ y

∂

z

(z′y )′y = z′y′y =

∂ y

∂

z

=

;

=

.

2

С

∂ x

∂ y ∂x

∂ y

∂ y