Материал: 2231

Преобразуем разность

F(x + ∆x) − F(x):

x+∆x

x

x

x+∆x

F(x + ∆x) − F(x) = ∫ f

(t)dt − ∫

f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt −

a

a

a

x

x

x+∆x

f (c) ((x + ∆x) − x) = f (c) ∆x.

− ∫ f (t)dt =

∫ f (t)dt =

a

x

Последнее равенство получено на основании теоремы о среднем

Д

( )с [x + ∆x; x]. Поэтому

F'(x) = lim

f (c)∆x

= lim f (c) =

f (x) .

∆x→0

∆x

∆x→0

( )x (Ирис. 28).

А

При ∆x → 0

x + ∆x → x , поэтому ( )c →

c

x

x +

∆x

Рис. 28

Рассмотримy = f (x) − непрерывную на [a,b] функцию. Пусть

Итак, получили, что

F'(x) = f (x). Теорема доказана.

Следств е. Верна формула (55), показывающая связь неопреде-

ленного

определенного

нтегралов:

С

x

∫

f (x)dx =

∫ f (t)dt + C .

(55)

a

Теорема (формула Ньютона–Лейбница).

F(x) − любая первообразная для f (x) на [a,b]. Тогда верна формула

b

f (x)dx = F(b) − F(a).

(56)

∫

Рассмотрим вычисление интеграла

1

dx

.

∫

+ x

2

−11

1 dx

1

π

π

π

Д

∫

2

= arctg1 − arctg(−1)

=

4

−

−

4

=

2

−11 + x

−1

так как первообразная F(x) = arctgx непрерывна при всех x , в частно-

А

1

= f (xИ).

1 + x2

Теперь

рассмотрим

в качестве первообразной для функции

1

б1

f (x) =

функцию

F

(x)

= arcctg 1 .

1+ x2

1

x

Заметим,

что

1

−

1x2

1

.

Поэтому

arcctg

x

'= −

1+

(

1x )2

=

1

+ x2

F (x) = arcctg 1

можно использовать в качестве первообразной для

1

x

1

f (x) =

. Выч сляем

нтеграл

1+ x2

С

1

dx

2

= arcctg

1

= arcctg1 − arcctg(−1) =

π

−

3

π = −

π

≠

π

.

∫

x

4

4

2

2

−11 + x

−1

в результате двух

вычислений одного и того же оп-

ределенного интеграла два разных результата при

вычислении раз-

ными способами.

Ошибка

сделана

во

втором

варианте

вычисления. При

x = 0 [−1; 1] функция y = arcctg 1

разрывна, поэтому не может быть

x

y = arcctg

1 .

1

dx

π

x

Итак, ∫

=

.

+ x

2

2

−11

§30. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Рассмотрим интеграл

b

∫ f (x)dx . Выполним замену

a

И

x = ϕ (t) ;

dx = ϕ ' (t)dt

при условиях:

А

а)

x = ϕ (t) непрерывно дифференцируема на [A;

B].

б)

[a; b] − множество значений функции x = ϕ(t);

б

y = f (x) непрерывна на [a; b].

Тогда верна формула замены переменнойДв определенном интеграле

b

B

Вычи

(59)

∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ' (t)dt ,

a

A

где a = ϕ (A) ; b = ϕ (B) .

С

Пр меры.

сл ть определенные интегралы, используя формулу заме-

ны переменных (59).

Решен я.

замена

1

t = x2 +1;

2

2

1.

∫

dt = 2xdx;

=

1

∫ dt

= 1 ln

t

= 1 (ln 2

− ln1)= ln

2

.

0

при x = 0

t =1;

2

1 t

2

1

2

при x =1

t = 2.

a

x = asint;

π

2.

∫2 sin2 t cos2 tdt =

∫ x

2

a2

dx = acostdt;

= a4

0

при 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t

≤ π .

0

2

=

a2 π

2

sin

2

2tdt

=

a4 π 2

a4

1

π 2

=

4

∫

8

∫ (1− cos 4t)dt =

t −

4

sin 4t

0

0

8

0

2

И

Д

мере 2.

А

а)

Функция замены переменных x = a sin t

дифференцируема

π

x'= acost –

π

на 0;

2

; ее производная

непрерывна на 0;

;

до π

2

б)

при изменении t

от 0

функция замены переменных

x = asint возрастает от 0 до a ;

в)

подынтегральная функция f (x) = x2

– непрерывна на

[0; a].

Итак, замена выполнена верно.

3.

π

π

= π .

∫dx = x

0

0

мбтеперь другой способ решения:

t = tgx;

π

π

π

dx

иdx

dx

dt

=

;

∫ dx

= ∫

=

∫

cos2 x

=

0

0 sin

0

= ∫

dt

= 0 ≠ π.

2

0 1+ t