Материал: 2231

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вариант 23 Вариант 24

 

 

 

 

x5 + x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

∫

 

 

x

 

dx .

 

1.

 

∫

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

−

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2.

∫

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2.

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1+ ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

∫

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + cos x

 

∫

xln2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

4xdx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

∫

 

 

x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

∫

ln x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

∫(2x +1)sin xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

∫ arctgxdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

∫arcsin xdx .

 

 

 

 

7.

∫

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

x + 6x

 

−16

 

 

 

 

 

 

 

x2 − 6x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 26

 

 

 

 

 

2 + ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дsin xdx

1.

∫

 

 

dx .

 

1.

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + 2cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

∫

cos xdx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

∫

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

∫

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

3.

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

∫

 

 

exdx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

∫

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

1

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 − e2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

∫ xsin(3x + 5)dx .

 

5.

 

∫ x arctgxdx .

6.

∫ x2 ln xdx.

 

 

 

 

 

 

6.

 

∫ x3 ln xdx .

 

 

 

 

7.

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

7.

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+

10x − 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4x −12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

206

Вариант 27 Вариант 28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ∫2x

 

 

x2

 

+ 4 dx .

 

1.

∫

 

 

 

 

 

arcsin x

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

∫

 

 

 

 

 

x

2

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x3 − 2)

 

 

2.

 

 

 

ln x − 7

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

∫ 2 + ln x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

∫ xe

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ∫

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4.

∫

 

 

 

x2dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 + x

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ∫ (x + x2 )dx .

 

 

5. ∫ x

(х2 + 3)dx .

 

6. ∫

 

 

 

 

 

ln xdx.

 

 

6.

∫ x ln xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. ∫ x2 + 2x + 2 dx .

 

 

 

 

 

 

 

x2

− 4Иx +1

 

 

 

 

 

 

Вариант 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 30

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

3x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

∫ ex2−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1.

∫1

 

− e3x .

 

 

 

 

sin xdx.

2.

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2.

∫

 

 

 

 

2 − cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ln x

+10

 

 

 

3.

∫

1− arctgx dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫(2x x − 7x)

dx .

А1+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x

 

 

 

 

− 3)2 dx .

4.

∫

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

∫

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

(

 

 

 

x + 3)

 

 

xdx .

5.

∫ (2x

 

 

 

 

б

∫

 

 

 

 

 

+ 3)

 

 

 

 

xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

∫ x cos xdx .

 

 

6.

∫(2 − x) ex dx .

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

7.

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и∫ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ 6x +13

 

 

 

 

 

 

x

 

 

− 4x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

207

2.2. Интегральное исчисление функции одной действительной

переменной. Определенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

§27. Задача о площади криволинейной трапеции

 

Пусть

задана

непрерывная

 

на

 

отрезке

[a,b]

функция

y = f (x) ≥ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача: найти площадь криволинейной трапеции ST , то есть

площадь плоской фигуры T , ограниченной кривой y = f (x)

и прямы-

ми y = 0; x = a ; x = b (рис. 19).

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 19

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

отрезок

 

[a, b]

 

произвольно

точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xk−1 < xk < ... < xn

 

Д

 

= b .

Обозначим ∆xk = xk − xk−1 –

длины получившихся отрезков,

k =1, 2, ..., n .

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

f

~

Разобьем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xk )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

a = x

~

~

x

−

~

 

 

x

~

b = x

 

x x

x x

x x

x

 

0

1 1

2 2

k

1

k

k

 

n−1

n

n

 

 

 

 

Рис. 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

208

 

 

 

 

 

 

 

 

В каждом из получившихся отрезков [xk−1, xk ]

выберем произ-

вольно точки xk и вычислим значение функции

y = f (xk ) в выбран-

~

 

~

ных точках. Составим ступенчатую фигуру из прямоугольников, ос-

нованиями которых служат отрезки [xk−1, xk ], а высоты равны

f (xk )

 

 

 

 

 

 

~

(рис. 20).

 

 

 

И

Площадь ступенчатой фигуры равна

 

 

 

 

 

~

~

~

n

 

~

(50)

Sn = f (x1 )∆x1 + f (x2 )∆x2

+ ... + f (xn )∆xn = ∑ f

(xk )∆xk .

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

Д

 

Получили {Sn } – последовательность сумм (50).

 

Можно считать,

что площадь ступенчатой фигуры примерно

равна площади криволинейной трапеции

ST ≈ Sn .

Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше точек выби-

рается на [a,b]. Положим, по определению, что площадь криволиней-

ной трапеции равна

 

ST = lim Sn .

(51)

n→∞

 

 

 

 

Замечание. Предел(49) вычисляем при условии, что одновре-

менно с увеличением числа n выполняется условие max ∆xk → 0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч сла точек xk

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

есть при увел чен

нужно следить за тем, чтобы все

дл ны отрезков [xk−1

, xk ]

А

 

 

 

 

 

 

 

стремились к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

1

x =

 

 

a = x0

x1

x2

b = xn

 

 

 

 

 

 

 

2

b xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 22

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 21 показано правильное расположение точек на [a,b], на

рис. 22 – неправильное,

т.к. [x1, x2 ]

 

при увеличении числа точек не

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изменяет своей длины (условие max ∆xk → 0 не выполнено).

k

209

§28. Определение определенного интеграла и его

геометрический смысл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функция

y = f (x)

определена и непрерывна на отрезке

[a,b]. Аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе, со-

ставим сумму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn

 

n

~

 

 

 

 

 

 

 

 

(52)

 

 

= ∑ f (xk )∆xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем называть Sn (52)

интегральной суммой.

на [a,b] назы-

Определённым интегралом от функции

y = f (x)

вается число, равное пределу

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

lim

n

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

∑ f (xk )∆xk .

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{∆x

→0}k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

∫

 

Это число

 

 

 

символом

∫ f (x)dx

 

или

f (x)dx. При

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

[a,b

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

этом b – верхний предел, a – нижний предел интегрирования.

Итак, значение определенного интеграла по определению равно

 

 

b

f (x)dx

=

lim

n

~

)∆x

 

.

 

(53)

 

 

∫

∑ f (x

k

 

 

 

 

Аk

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

n→∞

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{∆xk

→0}

 

 

 

 

 

 

 

Геометр ческ й смысл определенного интеграла

 

обозначается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

 

 

b

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если f (x) ≥ 0 на [a,b], то определенный интеграл ∫ f (x)dx ра-

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

вен площади криволинейной трапеции ST

(рис. 23).

 

 

 

 

 

 

 

 

210

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11