Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Свойства определенного интеграла

∫ f (x)dx = 0.

∫ f (x)dx

= −∫ f (x)dx .

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения определенного

интеграла.

∫[f (x) ± g(x)]dx =

∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx .

Доказательство.

∫[f (x) ± g(x)]dx = lim ∑

[f (xk ) ± g(xk )]∆xk =

n→∞ k=1

= lim

∑ f

(xk )∆xk

∑ g(xk )∆xk

n→∞

k=1

= lim

∑ f

(xk )∆xk ± lim ∑ g(xk )∆xk

= ∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx.

n→∞ k=1

4. ∫c f (x)dx = c∫ f (x)dx.

Доказательствоб:

∫ c f (x)dx = lim ∑c f (xk )∆xk = lim c ∑ f

(xk )∆xk =

n→∞ k=1

n→∞

k=1

= c lim ∑ f

(xk )∆xk

= c∫ f (x)dx.

n→∞ k=1

∫c dx = c(b − a) .

211

Это свойство очевидно из рис. 24.
		c	y = c
		c
			a				b
			Рис. 24
		b				c		b
6. Если	a < c < b, то	∫	f (x)dx =			∫	f (x)dx +	∫ f (x)dx.
		a				a		c	И
Свойство проиллюстрировано на рис. 25.
						y = f (x)
							Д
		a		c			b
			Рис. 25
		Аb
7. Если	f (x) ≥ 0 на	[a, b], то			∫ f	(x)dx > 0 .
	б				a
					b
8.					∫ f (x)dx < 0 .
8.	f (x) ≤ 0 на	[a,b], то			∫ f (x)dx < 0 .
Если					a
Если
С
				212

y= g (x) y = f(x)

9. Если f (x) ≤ g(x) на [a,b], то	b	b
9. Если f (x) ≤ g(x) на [a,b], то	∫ f (x)dx < ∫ g(x)dx (рис. 26).
	a	a

Рис. 26

	b	b
	b	b
10.	∫ f (x)dx	≤ ∫	f (x)	dx.
10.	∫ f (x)dx	≤ ∫	f (x)	dx.
	a	a

Доказательство. Очевидно, что −

f (x)

≤ f (x) ≤

f (x)

. Проин-

тегрируем неравенство по отрезку [a,b].

По

свойству 9 получаем

− ∫

f (x)

dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫

f (x)

dx ,

то есть верно свойство 10.

f (x)dx

≤ b

f (x)

dx.

∫

Следств я.

	наб[a,b] верно, что f (x) ≤ k , то		b
			b
1.			∫ f (x)dx	≤ k(b − a).
			a
2.	m − на меньшее,	M − наибольшее значения функции
y = f (x) на [a,b], то
Если
С	b	f (x)dx ≤ M (b − a).
	m(b − a) ≤ ∫	f (x)dx ≤ M (b − a).
	a
	a

213

11. Теорема о среднем значении.

Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b]. Тогда существует точка c [a,b], такая, что верна формула

b
∫ f (x)dx ≤	f (c) (b − a) .	(54)
a

Доказательство. Непрерывная функция y = f (x) на [a,b] при-

нимает свое наименьшее значение m и наибольшее M на данном отрезке. То есть на [a,b] верно неравенство m ≤ f (x) ≤ M . Проинтегри-

ровав данное неравенство с учетом свойства 9, получим

∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx .

По свойству 5 имеем

m(b

− a) ≤ ∫

f (x)dx ≤ M (b − a) ,

или

f (x)dx

∫

m ≤

≤ M .

b − a

Непрерывная функц я принимает все промежуточные значения

(теорема

[a,b], для которой верно

поэтому найдется точка c

∫ f (x)dx

равенство

= f (c) , из которого следует утверждение теоремы.

Коши

b − a

214

	§29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
	Рассмотрим функцию Ф(x) =			x	f (t)dt , где x [a,b].
	Рассмотрим функцию Ф(x) =			∫	f (t)dt , где x [a,b].
				a
	Геометрический смысл определенного интеграла
		с переменным верхним пределом
	Если f (x) > 0, то о пределенный интеграл с переменным верх-
ним пределом равен площади криволинейной трапеции с основанием
[a, x] (рис. 27).								И
						y = f (x)

		0	a	x		b
			a	x		b
			Рис. 27			Д
	Заметим, что Ф(x)					Д
	Заметим, что Ф(x)		– возрастающая функция (при f (x) > 0).
лов).	Теорема (связь определенного и неопределенного интегра-
лов).	Определенный интеграл с				переменным		верхним пределом
	x		А
F(x)	= ∫ f (t) dt		А
F(x)	= ∫ f (t) dt	является первоо разной для f (x).
	a
	Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно дока-
зать, что F'(x) = f (x). Зап шем определение производной
		б
		F'(x) = lim F(x + ∆x) − F(x) .
	и		∆x→0			∆x
	и
С
			215

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11

Материал: 2231

§29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Смотрите также: