Материал: 2231

вариант решения) неверно, так как замену t = tgx

в данном примере

использовать нельзя:

функция

замены

t = tgx

разрывна

при

2

определенном интеграле.

2

dx

4. Вычислим интеграл

двумя способами, сравним ре-

−∫2 x

2

+ 4

зультаты расчетов.

2

dx

1

x

2

1

(arctg1− arctg(−1)) =

1

π

π

π

a) ∫

=

arctg

=

−

−

=

;

2

+ 4

2

2

2

2

4

4

−2 x

−2

4

.

1

А

И

x =

;

t

2

dx

dx = − tdt2

;

12

dt

12

dt

б) ∫

= −

∫

=

2

2

+

= − ∫

+

−2 x

4

x = −2, t = −

1

;

− 12 t2

4 +

− 12 4t

1

2

решении

1 .

t2

x

=

2, t

=

2

= − 1 arctg2t

12

= −

π ≠ π .

С

− 1

4

4

2

2

решение является ошибочным.

Во втором

мы получили ошибочный результат,

так как

замена x = 1

не может быть использована, потому что t = 0 [− 2; 2] −

t

Рассмотрим функции u = u(x); v = v(x), − непрерывные вместе

со своими производными

u'(x), v'(x)

на отрезке

интегрирования

[a, b]. Используем свойство дифференциала произведения

d(uv) = du v + u dv ,

И

или udv = d(uv) − v du .

Д

Проинтегрируем это равенство по отрезку

[a,

b], получим ра-

венство

b

b

b

∫udv = ∫ d(uv) −

∫vdu .

(60)

a

a

a

b

b

b

, из равенства (60), получаем фор-

Т.к.

a

a

a

б

мулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

b

b

b

(61)

и

∫udv = uv

− ∫vdu .

a

a

a

Пр меры.

А

Выч сл ть определенные интегралы, используя формулу интег-

рирован я по частям (61).

С

Решен я.

u = x, du = dx;

1

1

1

dv = e

x

dx,

v = e

x

.

= xex

=

0

0

0

e

dx

e

e

e

2.

∫ ln xdx =

du =

x

;

= x ln x

1

− ∫ x dx

= (e ln e −1ln1)

− ∫ dx =

1

1

x

1

= e − (e −1) = 1.

И

1

u = arctgx,

du =

dx

;

1

1

xdx

3.

∫ arctgxdx =

= xarctgx

− ∫

=

1+ x2

2

0

dv = dx, v = x.

0

0 1+ x

= (arctg1− 0) −

1 ln

x2

+1

1

π

− 1 (ln 2

− ln1) = π

− ln

=

2.

2

0

4

2

4

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определенные интегралы.

1

б

π

1.

2

x

2 dx .

2

∫

2.Дsin x dx.

∫

−1

0

1

и

4.

∫

dx

2 .

3.

∫2

dx

2 .

А

3

1

1

1+ x

−2

3

ln 2

π

5.

∫ x e−x dx .

6.

∫ x sin x dx .

0

0

3

7.

∫ arccos x dx .

8.

∫ x arctg x dx .

0

x dx

0

x (2 − x2 )12 dx .

9.

1

.

10.

1

∫

∫

5 − 4 x

−1

0

11. ∫

2

x dx .

12. ∫(x ln x )2 dx.

1

e

−1

x

+ x +1

0

π

9

2

С13. x

1− x

dx.

14.

sin x sin 2x sin 3x dx .

∫

3

∫

1

0

−1

d x

π

2

15.

∫

.

16.

∫(x sin x)

dx.

−2 x

x2 −1

0

1

ln 2

17.

∫ x15 3 1+ 3x8 dx .

18.

∫ 1− ex

dx .

0

0

И

Ответы:

π .

1. 3.

2. 1.

3.

4. π .

1 ln e .

3

5.

6.

π .

6

2

2

Д

7 . 1.

8.

2π

−

3

.

9.

1 .

3

2

6

10. 315

1

.

11.

1 ln 3

−

π

.

12.

5

e3 −

2

.

2

2

3

13. − 66 6 .

14.

1 .

15. − π .

π 3

7

6

3

π

29

π

Несобстве

16.

6

−

4

.

17.

270

.

18. 2 −

2

.

§32. Несо ственные интегралы

и

+∞

Собственным

нтегралом (

пределенным интегралом в собст-

С

нные интегралы I рода

( нтегралы с бесконечными пределами)

(видео 4)

Несобственным интегралом I рода (интегралом с бесконечным

пределом интегрирования) называют интеграл ∫ f (x)dx , где подынте-

a

гральная функция f (x)

непрерывна на [a, + ∞).