Материал: 2231

Итак, в случае параметрического задания, длина дуги кривой

вычисляется по формуле

L = β∫

(x '(t))2 + (y '(t))2 dt .

(74)

α

Если кривая задана в полярных координатах r = r(ϕ),

α ≤ ϕ ≤ β ,

причем производная

r '(ϕ)

существует и

непрерывна

на [α, β ]

(рис. 47), точкам A и B соответствуют значения углов α и β .

y

В

r = r(ϕ)

β

А

α

0

x

Рис. 47

Для нахождения длины дуги кривой переходим от прямоуголь-

ных координат к полярным:

И

x = r cosϕ;

x '= r 'cosϕ − r sinϕ;

y

'= r 'sinϕ + r cosϕ.

y = r sinϕ,

Д

В результате формула (73) длины дуги в случае полярного зада-

ния кривой принимает вид

βА

L = ∫

r2

(ϕ) +

(r

'(ϕ))2 dϕ .

α

бД фференциал дуги

Замен м в формуле (73)

верхний предел на x, получим длину

изменяющейсядугиl(x)

x

1 + ( f '(t))2 dt .

= ∫

a

Найдем производную функции l(x) по теореме о производной

интеграла с переменным верхним пределом:

С

x

2

'

2

l '(x) = ∫

1+ ( f '(t)) dt = 1

+ ( f '(x)) .

a

241

Поэтому дифференциал дуги dl вычисляется по формуле

dl

= l '(x)dx = 1

2

dx =

1 +

dy

2

+ ( f '(x))

dx,

dx

dl =

(dx)2

+ (dy)2 .

(75)

Геометрический смысл

На рис. 48 изображены кривая y = f (x)

и касательная M0 M ' к

y = f (x)

M1

dl

M' касат ельная

M0

dy

dx

M''

Д

x

0

x0

+ ∆ x

Рис. 48

Тогда

dx – пр ращен е переменной, т.е. длина отрезка M0 M '';

dy – пр

А

ращен е касательной, т.е. длина отрезка M ' M '';

d l

–

д

фференц

ал

дуги

– это гипотенуза

треугольника

∆ M0 M ' M '',

т.е. это дл

на отрезка касательной к кривой y = f (x)

б

при x0 ≤ x ≤ x0 + ∆ x .

и

Объем тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой

y = f (x) , прямыми x = a ;

x = b ; y = 0 (рис. 49). Объем тела, которое

получается при вращении трапеции вокруг оси Ox , равен

С

b

y2 (x)dx.

Vx = π ∫

(76)

a

y

y = f (x)

a

b

0

x

Рис. 49

Если трапеция вращается вокруг оси Oy (рис.

50), то получив-

шийся объем вычисляется по формуле

И

a

b

Рис. 50

А

b

Vy

= 2π ∫ x y(x)dx .

(77)

б

a

Пр мер.

Найти объем части параболоида вращения по радиусу основания

R и высоте h.

Решение. оставим уравнение параболы по условиям задачи.

Рассмотрим параболу с вершиной в начале координат, ветви которой

направлены вправо:

y2

= a x.

Из условия при

x = h

y = R , поэтому

парабола имеет вид

y

2

=

R2

x. Параболоид получается при вращении

h

243

па-

раболоида – используем формулу (76)

h

R2

x dx =

1

πR

2

h ,

Vx = π ∫

h

2

a

т.е. сегмент параболоида составляет по объему половину объема ци-

линдра с тем же радиусом и высотой.

Этот результат был найден Архимедом.

Площадь поверхности вращения

Пусть

y = f (x) ,

x [a, b]

–

непрерывная

кривая,

причем

f (x) ≥ 0 на [a, b], производная y '= f '(x)

непрерывна на [a, b].

Ox

(рис. 51), имеет площадь

И

b

1+ ( f '(x))2 dx .

S

= 2π ∫ f (x)

(78)

a

Д

a

b

А

б

Рис. 51

x = x(t)

,

t

≤ t ≤ t

,

кривая задана в параметрическом виде

= y(t)

Если

y

1

2

С

t2

(x '(t))2 + (y '(t))2 dt .

(79)

S = 2π ∫ y(t)

t1

244