Материал: 2231

x1

A = ∫

f (x)dx.

(87)

x0

0

y

И

x

Рис. 54

Д

2

2

dV = amdx = 2a

r2 − x2

dx .

жести

x,

С

A = 2ρ g a ∫ x r2

− x2 dx = −ρ g a 2 (r2 − x2 )32 r = 2 ρ g a r3 .

r

3

0

3

0

И

чтобы растянуть пружину на

0,06 м,

если сила 1 Н растягивает ее на 0,01 м?

Решение.

k

F ( x) = k x ,

где

–

коэффициент

пропорциональности,

F – сила, растягивающая пружину на x м.

Полагая, что

Д

F = 1н,

x = 0, 01 м k =

1

= 100 ;

F ( x) = k x = 100 x ,

0, 01

тогда

А

0,06

x

2

0,06

2

0,06

= 0,18 (дж).

A = ∫

100 x d x = 100

0

= 50

x

0

0

Ответ:

A = 0,18 дж.

t2

Определить

3. Сила тока

I

в проводнике меняется со временем по закону

I = 2 + 3t 2 .

,

какое количество

электричества проходит

через

поперечное

сечен

е

проводника

за

время

от t1 = 2 с. до

t2 = 5 с.

С

Пусть

по

проводнику течет

ток переменной силы

Решен е.

I = I (t ), где

Iб(t ) ≥ 0 . Тогда количество электричества Q , протек-

шего через поперечное сечение проводника за промежуток времени

[t1 ; t2

]

(t1

< t2 ), выч сляется по формуле

Q = ∫ I (t ) d t ,

(88)

t1

где I

– выражено в амперах;

t – в секундах.

5

2

3t

3

5

3

5

Q = ∫ (2

+ 3t ) d t =

+

= (2t + t

)

=

2t

3

2

2

2

= (2 5 + 53 ) − (2 2 + 23 ) =

= 10 + 125 − ( 4 + 8 )= 135 − 12 = 123 (k.).

Ответ:

Q = 123k .

4. Зависимость производительности труда от времени в течение

смены (8 ч) для двух рабочих соответственно

р1 (t) = 23 – 0,4t;

р2 (t) =

26 – 0,2t – 0,003t2.

В первый день рабочие выполнили 80% всей работы. На сле-

дующий день

работу заканчивал один первый рабочий. За сколько

часов была выполнена вся работа?

И

Д

А

2

p (t)+ p

б2 3

1

2

2

3

0

Знач , объем работы,

который нужно выполнить во второй

ит

Пусть во второй день работа продолжа-

день, равен 0,2 A = 93,072.

лась t0 ч. Работу выполняет только первый рабочий, поэтому по фор-

муле (87) имеем

С

= 23t − 0,4

t2

t0

2

И

2

= 23 t0 − 0,2 t0 = 93,072.

0

0,2t0

2 − 23t0 + 93,072 = 0. Нахо-

Решаем квадратное уравнение

230 −

= 4,2

дим, что t0

=

45454,24

(ч). Второе значение t0 не соот-

4

ветствует условиям задачи.

б

площади фигур, ограниченных кривыми;

2.длины дуг различных кривых;

Д

3.

объем тел, о разованных вращением плоских

геометрические

фигур вокруг осей координат;

приложения

времени

4.

площади поверхностей, о разованных вращением

дуги кривой вокруг осей координат;

5.

пути, пройденный точкойА(по известной скорости);

6.

работу с лы, под воздействием которой

перемещается точка вдоль осей координат;

физические

С

приложения

7.

стат ческ моменты и центр тяжести

4.

y = x + sin2 x; y = x; y = 0; 0 ≤ x ≤ π .

5.

x = a (t − sin t);

y = a (1− cost);

0 ≤ t ≤ 2π ; (циклоидой) и y = 0.

6. x = 2t − t2 ; y = 2t2 − t3 .

7. r = a (1− cosϕ) (кардиоида).

8. r 2

= a 2 cos 2ϕ (лемниската).

Найти длину дуги кривой:

3

9. y = x2 ; 0 ≤ x ≤ 4 .

10.

y = ln cos x; 0 ≤ x ≤ a < π .

x = a (t − sin t);

2

11.

y = a (1− cost); 0 ≤ t ≤ 2π .

объем

ник со сторонами a и b, верхнее ре ро равноДc, а высота равна h.

Найти о ъем тела, полученного при вращении криволинейных

трапеций, ограниченных линиями:

радиус

Ox).

13.

y = 2x − x

2 ; y

= 0 (вращение вокруг оси

14.

y = 2x − x2 ; y = 0 (Авращение вокруг оси Oy).

15.

y = sin x;

y = 0; 0 ≤ x ≤ π (вращение вокруг оси Ox).

16.

y = sin x;

y = 0; 0 ≤ x ≤ π (вращение вокруг оси Oy).

17. Выч сл ть площадь поверхности, полученной при вращении

вокруг оси Ox плоской кр вой y = tg x ; 0 ≤ x ≤ π .

4

18.

Найти статический момент и момент инерции дуги полуок-

ружности

ом a

относительно

диаметра,

проходящего через

концы этой дуги.

19.

Какую работу надо затратить, чтобы тело массой m поднять

с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h?

20.

Определить силу давления воды на вертикальную стенку,

Симеющую форму полукруга радиусом a, диаметр которого находится

на поверхности воды?