Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4 − x2

−1

− 2

4 − x2

− x2

I = 2

+ ln

+ C = 4 − x

+ ln

+ C.

4 − x

− x

+ 2

x = 3tgt;

3dt

2.∫

= ∫

cos2 t

3 ∫

dx =

dt.

sin t

9 + x2

3tgt +

9 + 9tg2t

cos

cost = k;

∫

sin t d t

= 1

∫

− dk

∫

dk = −sin tdt.

1− cos

1− k

−1

∫

k −

+ C

1 ln

cost −1

+ C.

3 2

−1

k +1

cost +1

Так как tg t =

;

tg2t =

−1;

cos

+1 =

x2 + 9

;

cos

cost =

+ 9

Поэтому

−1

1 ln

3 −

x2 + 9

I =

x2 + 9

+ C =

+ C.

3 +

x2 + 9

181

x =

− a2 a sin t dt =

cost

x2 − a2

∫

cos2 t

∫

dx =

a sin t

cos2 t

sin2 t

1− cos2 t

= a

∫

dt = a

∫

dt = a

∫

− ∫

cos

cost

= a

sin t

∫

−

∫

2 cos

cost

sin t

d sin t

sin t

sin t −1

− ∫

+ C.

1− sin

cos

sin t

cos

Возвращаемся к переменной х. Так как x =

, то cost = a

;

cost

1− a2

x2 − a2

sin t =

1− cos2 t

Поэтому получаем значение интеграла

− a

−1

I =

x − a

+ C =

x a

x − a

182

x2 − a2

+ 1 a2 ln

x2 − a2

− x

+ C.

x2 − a2

+ x

Задачи для самостоятельного решения

−1

2x − 5

1.∫

dx.

2.∫

dx.

1+ 3

2x − 5

x dx

−1

3.∫

4.∫

dx.

1− x2

3x + 5

dx.

∫

3x + 5 −1

∫ 3 x − 315 x

x2 + 9

dx.

x2 −1

dx.

∫

. И

9.∫

10.∫

x 1− x2

x x2 + 8

Ответы:

1. 3

(2 x − 5)7

−

3 6

(2 x − 5)5

2 x − 5

− 6

2 x − 5

+ arctg 6

+ C.

2x − 5

2. x − 4

+ 4ln

− 2

+ C.

формулируйте

3. −

1− x2

+ C.

Вопросы

задан я для самопроверки по разделу

«Интегральное

сч сление функции одной действительной

переменной. Неопределенный интеграл» ([1,2,3,5,6,7], прил. 11–14)

1. Что называется первообразной функции?

теорему о виде всех первообразных.

лемму о признаке постоянства функции.

С4. Докажите теорему о виде всех первообразных.

5.формулируйте определение неопределенного интеграла.

6.Как можно проверить правильность выполнения интегрирования?

7.Как связаны дифференцирование и интегрирование функции?

8.Приведите основные свойства неопределенного интеграла.

9.Докажите основные свойства неопределенного интеграла.

183

10. Как получают формулы из таблицы интегралов?				d x
11. Напишите табличные интегралы ∫ xn d x ; ∫ ax d x; ∫				d x	.


				x2 − a
12. В чем заключается метод непосредственного (табличного)
интегрирования?			И
13. Как производится интегрирование методом подведения под
знак дифференциала?
14.	Напишите формулу замены переменных в неопределенном
интеграле.
15.	Приведите пример замены переменных в неопределенном
интеграле.		Д
интеграле.
16.	Напишите формулу линейной замены переменных в неоп-
ределенном интеграле.
17.	Приведите пример устного вычисления примера методом
		А
линейной замены переменных в неопределенном интеграле.
18.	Напишите формулу интегрирования по частям.
19.	Докажите формулу интегрирования по частям.
20.	Какие типы интегралов, вычисляемых по частям, вы знаете?
21.	Приведите пример вычисления по частям неопределенного
интеграла.
22.	Какие интегралы называются циклическими?
23.	Как вычисляются циклические интегралы?
24.	Какие дро и называют рациональными?
правильной
25.	Какие рациональные дро и называют правильными (непра-
в льными)?
26.	Как ми пр емами неправильную дробь можно представить
в в де суммы целой части правильной дроби?
С
27. Как е четыре т па рациональной дроби называют простейшими?
28. Как разложбть правильную рациональную дробь в сумму
простейш х?
29. В чем заключается метод неопределенных коэффициентов
разложения		рациональной дроби в сумму простейших

дробей?

30. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейшей дроби ∫ xd+xa ?

184

31. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейшей

дроби ∫ (xd+ xa)n ?

32. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейших

дробей

∫

d x

;

∫

d x

+ a x

+ b

x2 + a x + b

33.

Как вычисляется неопределенный интеграл от простейших

дробей

∫

d x

34.

(x2 + a x + b)

Дm n

Опишите процедуру нахождения неопределенного интеграла

от рациональной дроби.

35.

Какая замена переменных называется универсальной триго-

нометрической подстановкой?

36.

Обоснуйте

формулы

универсальной

тригонометрической

подстановки.

37.

Интегралы от каких функций вычисляются с использованием

универсальной тригонометрической подстановки?

38.

Какие тригонометрические формулы используются при вы-

числении интегралов от тригонометрических функций?

39. Как вычисляются интегралы ∫sin x cos

x d x при различных

значениях m, n?

Задачи

40.

Как вычисляются интегралы от тригонометрических функ-

ций разных аргументов?

41. Оп ш те процедуруАнахождения неопределенного интеграла

от тр гонометр ческой функции.

42.

В чем заключается основная идея вычисления неопределен-

ного нтеграла от

ррац ональной функции?

43.

Оп ш те процедуру нахождения произвольного неопреде-

ленного

нтеграла.

для самостоятельного решения по разделу 2.1

Вычислите неопределенные интегралы.

1. ∫

2x+1 − 5x−1

d x .

d x

2. ∫(2 x + 3)

x d x

Сd x

3. ∫

4. ∫

2x2 + 7

3x2 − 7

185

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11