Материал: 2231

2x + 6 = t6 ;

И

1. ∫

dx

2dx = 6t5dt;

3t5dt

= ∫

=

3

2x +

dx = 3t5dt;

3 t6 − t6

t = 6

2x + 6.

t5dt

t3

t

2

− t

3

t −1

3

неправильную рациональную дробь

(t3 −1)

+

1

2

1

= −3∫

б6

)dt =

t

−1

t −

1

3

t

2

t

+

t

−1

+ C =

= −3

3

2

и

+

+

6

6

+ C.

= −3

3

2

С

6

x = t ;

t

t 6

2...I = ∫

x

dx

= 6t

5

= ∫

6t

5

dt = 6∫

dt.

1

+ t

2

t

2

+1

t =

6 x.

4

2

1

5

t

3

I

= 6∫ t

− t

dt

t

−

+ t

− arctgt

+ C =

t

+1

5

3

=

6 6

x5

− 2

x

+ 66

x

x

+ C.

5

1− 2x = t4 ;

3.

dx

=

∫

− 2t3dt =

∫ 1−

2x − 4 1− 2x

dx = −2t3dt;

t2 − t

t = 4

= −2∫ t2dt

= −2∫

(t2 −1) +1dt =

t −1

t −1

1

2

t

= −2∫ t +

1+

dt

t

+ C =

t −

= −2

−1

1

2

= −

− 24

− 2ln

4 1− 2x −1

+ C.

6

− 6

4.∫

dx .

(3x +1)

3

(3x +1)

2

6

−1)

2

(3x +

1) +

( (2x

2x −1)

2x −1

И

6

I = ∫

dx.

2

2x −1

2x −1

(3x +1)

3

+

3x +1

3x +1

Делаем подстановку

6

2x −1

= t ,

отсюда

3x +1

2x −1

= t6 ;

2x −1 = t6 (3x +1);

3x +1

x(2 − 3t

6

) = 1+ t

6

;

x =

1+ t6

;

2

− 3t6

б

6

6

(1+ t

6

)'(2 − 3t

6

dx

=

) − (1+Дt )(2 − 3t )'

(2 − 3t6 )2

dt

=

=

6t5 (2 − 3t6 )

− (1+ t6 )(−18t

5 )

dt =

;

(2

6

2

(2 − 3t

6

)

2

−А3t )

3x +1 =

5

.

С

2 − 3t6

Делаем замену в нтеграле и вычисляем

I

=

t −1

30t5

dt =

6 t4 − t3

dt =

∫

6

2

и∫

25

(t2 + t3 ) (2

− 3t

)

5

t +1

(2 − 3t6 )2

6

3

2

2

=

∫ t

− 2t

+ 2t −

2

+

dt

=

5

t +

1

6

4

t

3

t

2

=

t

− 2

+ 2

− 2t

t

+1

+ C =

5

4

3

2

3

2x −1

2

4

6

12

=

−

2x

−1

+

2x −1

−

2x −1

+

5

3

5 3x

+1

5

3

3x +1

5

6

3x +1

3x +1

12

6 2x

−1

+

+ C.

5

ln

3x

+1

+1

II. Иррациональные функции, содержащие корни вида

C ± x2

,

можно проинтегрировать, применив тригонометрические подстанов-

ки:

А