Материал: 2231

7. sin

6

xdx =

(sin

2

x)

3

dx =

1

(1

3

∫

∫

2

+ cos 2x)

d x =

∫

=

1

∫ (1+

3cos2 2x +3cos 2x + cos3 2x)dx =

8

И

1

1

3

=

∫ (1− cos 4x)dx +

sin 2x +

∫ cos

2

=

8

x + 3

2

2

2x cos 2xdx

Д

1

3

sin 4x

3

=

sin 2x + ∫ (1

− sin

2

8

x +

2

x −

4

+

2

2x) cos 2xdx .

Последний интеграл вычислим отдельно:

∫(1 − sin2 2x)

cos 2xdx

sin 2x

= t;

= ∫(1 − t2 ) dt =

б

2

2 cos 2xdx = dt

1

t3

1

1

3

=

t

−

+ C

=

sin 2x −

sin

2x

+ C.

и

2

3

2

3

Теперь вып шем ответ исходного примера и сделаем его упро-

щен я.

С

1

5

3

3

1

1

∫ cos

4

xdx

=

x −

sin 4x +

sin 2x

+

sin 2x −

sin

3

+ C =

8

2

8

2

2

6

=

1

5

x +

2sin 2x −

3

sin 4x −

1

sin

3

+ C.

8

2

8

6

2x

8. sin

2

x cos

2

xdx =

1

2

dx =

1

sin

2

2xdx =

∫

2

sin 2x

4

∫

∫

=

1

1

∫ (1+ cos 4x)dx

=

1

1

+ C.

4

2

8

x +

4

sin 4x

И

1.

tg

xdx =

∫

tg

x

−1 dx =

∫

tg x

dx −

∫

tg

xdx =

x

cos2

x

∫

cos2

5

1

3

1

5

1

=

∫

tg

x

dx −

∫

tg

x

−1 dx

=

tg

x

dx −

2

2

С

cos

x

cos

x

cos

x

1

1

3

3

5

−

∫

tg

x

бdx + tg xdx =

tg

x

dx

−

cos2

x

cos

2

x

∫

∫

3

1

1

tgx = t;

и− tg x dx +

∫

tgx

dx −

∫

tgxdx

dx

;

∫

cos

2

x

cos2 x

dt

=

.

cos2

x

tg2 x =

1

−1;

ctg2 x =

1

−1.

cos2

x

sin2

x

Используем при решении тригонометрические формулы

sinα cos β =

1

(sin(α + β )

+ sin(α − β ));

2

cosα cos β =

1

(cos(α + β ) + cos(α − β ));

2

Д

sinα sin β =

1 (cos(α − β )

− cos(α

+ β )).

2

Примеры.

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решения.

(sin(3x + 5x) + sin(3x − 5xИ))dx =

1.

sin 3x cos5xdx = 1

∫

∫

2

cos8x

cos 2x

=

1

∫

(sin 8x

− sin 2x)dx =

1

−

+

+ C.

2.∫ cos 7x cos11xdx =

1

∫ (cos(7x +11x) + cos(7x −11x)) dx =

2

=

1

(cos18x + cos(−4x))dx =

1

sin18x

+

sin 4x

2

∫

4

+ C.

А2 18

3.

sin x sin 2x sin 3xdx =

∫

sin x 1 (cos(−x) − cos5x)dx =

∫

2

=

1

∫ (sin x cos x − sin x cos5x)dx =

2

и1 1 1

=

2

∫

2

sin 2x −

2

(sin 6x + sin(−4x))

dx =

=

1

∫ (sin 2x − sin 6x + sin 4x)dx =

1

− cos 2x

+

cos 6x