Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Ответы:

−

+ C.

2(x2 − 3x + 2)2

2x −1

+ arctg(x +1) + C.

2(x2

+ 2x + 2)

x +1

x + 2

arctg

1 −

1 ln(x2 + x +1) + C.

3(x2 + x +1)

3 3

3x −17

+ 1 ln(x2

− 4x + 5) + 15 arctg(x − 2) + C.

2(x2 − 4x +

− x2 + x

1 ln

x +1

−

1 ln(x2 +1) +

1 arctgx + C.

4(x +1)(x2 +1)

− 3arctgx −

x −1

+ C.

4(x4

−1)

x +1

15x5 + 40x3

+ 33x

arctgx + C.

48(x2 +1)3

x −

x −1

2ln(x2

− 2x + 2) + 3arctg(x −1) + C.

бx

− 2x + 2

§24. Интегрирование тригонометрических функций

смотрим

Рас

несколько классов тригонометрических функций и

методы х

нтегр рован я.

Для

нтеграла

∫

f (sin x;cos x)dx

можно применить пригодную

во всех случаях ун версальную тригонометрическую подставку

(УТП)

t = tg

Отсюда

x = 2arctgt;

dx =

2dt

1+ t2

166

Теперь используем тригонометрические формулы

− tg

1− t2

cos x =

;

+ tg

1+ t2

2tg

sin x =

1+ t2

1+ tg

Итак, УТП – это подстановка вида

t = tg

;

2dt

;

1+ t2

(49)

sin x =

; cos x =

− t

1+ t2

Примеры.

1+ t

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решения.

2dt

1.∫

УТП

∫

1+ t2

= ∫

3sin x + 4cos x

2dt

+ 4

− t

6t +

4 − 4t

1+ t

+ t

t −

= −

4 = k;

= −

∫

−

t −1

2 ∫

∫

−

dt = dk.

−

− 2

1 ln

t − 2

1 ln

= −

+ C = −

+ C.

167

2.∫

4sin x + 3cos x +

Применяем УТП, получаем

2dt

∫

= ∫

1+ t2

4sin x +

3cos x + 5

+ 3

− t

+ 5

1+ t2

+ t2

= ∫

2dt

8t + 3(1

− t

) + 5(1

+ t

)

∫

2dt

= ∫

= −

+ C = −

+ C.

8t + 2t

+ 8

+ 2)

+ 2

+И2

Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx :
а) если m – нечетное положительное целое число, то применяют
подстановку		t = cos x; dt = −sin xdx					;		Д
									Д

б) если n – нечетное положительное целое число, то применяют
подстановку		t = sin x; dt = cos xdx			;
подстановку		t = sin x; dt = cos xdx			;
в) е	m n – четные положительные целые числа, то исполь-
			А
зуют тр гонометр ческ е формулы
			sin x cos x =					1 sin 2x;
		б						2
сли			cos2 x = 1			(1		+ cos 2x) ;
				2
			sin2	x = 1		(1− cos 2x) ;
С

sin2 x + cos2 x = 1.

168

Примеры.

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решение.

sin3 xdx =

∫

sin2 x

sin xdx =

∫

(1− cos2

x) sin xdx

cos x = t;

∫

− sin xdx = dt

cos

= −∫ (1− t

)dt

+ C.

= − t −

+ C = − cos x +

sin5 xdx =

(sin2 x)2 sin xdx

∫

= ∫ (1− cos2 x)2 sin xdx

cos x = t;

− sin xdx = dt

= −∫ (1− t2 )2 dt = −∫ (1− 2t2 + t4 )dt = −(t − 2 t3

+ t5 ) + C

= − cos x +

2 cos3 x − 1 cos5 x + C.

sin6 x cos3

xdx =

∫

sin6 x (1

− sin

x) cos xdx

∫

cos xdx = dt

− t

+ C = sin

x − sin

x + C.

= ∫t6 (1− t2 )dt

= ∫ (t6

− t8 )dt = t

169

4.		sin			5		x cos							5		xdx				=				(sin x cos x)									5	dx				=			1				5	dx =
4.		sin					x cos									xdx				=		∫		(sin x cos x)										dx				=	∫		2		sin 2x)			dx =
∫																						∫																	∫		2
=		1		∫sin5						2xdx =
=	32			∫sin5						2xdx =
	32
		1																											cos 2x = t;																1	1
=		1		∫(1− cos2 2x)2 sin 2xdx																									− 2sin 2xdx = dt;															= −	1		∫ (1− t2 )2 dt =
=	32			∫(1− cos2 2x)2 sin 2xdx																									− 2sin 2xdx = dt;															= −	32		∫ (1− t2 )2 dt =
	32																																												32	2
																																			Д
																													sin 2xdx									= − 1 dt
																																								2
			1													2				4								1							t	3			t	5
= −							∫ (1			−		2t					+ t				)dt					= −												+				+ C =
			64																								64								3				5					И
																									А
			1															2						3				1				5
= −			64			cos 2x −												3		cos						2x +		5	cos				2x					+ C.
			64															3										5
										б																										dx −					cos 2xdx) =
5. cos2 xdx												=				1		(1− cos 2x)dx =													1		(		∫	dx −				∫	cos 2xdx) =
∫															∫ 2																2				∫					∫
	1								1
и
=	2		x				−		2	sin 2x									+ C.
	2								2
6.∫cos					4			xdx									1													2					1		∫(1− 2cos 2x + cos										2	2x)dx =
6.∫cos								xdx				=∫					2		(1− cos 2x)											dx =					4		∫(1− 2cos 2x + cos											2x)dx =
																	2																		4
=	1		∫																		1		(1− cos 4x)
=	2		∫	1− 2cos 2x +																	2		(1− cos 4x)								dx =
	2																				2
=	1										1		sin 2x +										1					1										+ C =
=	2		x − 2								2		sin 2x +										2			x −		4	sin 4x									+ C =
	2										2												2					4
	1			3														−		1		sin 4x						+ C.
С= x − sin 2x																		−		8		sin 4x						+ C.
	2			2																8

170

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11