Материал: 2231

∫

5x2

+ 6x + 9

dx =

+ ∫ 0dx =

+ C.

(x − 3)

2

(x +1)

2

(x + 3)(x +1)

(x + 3)(x +1)

Ответ:

− 5x − 3

+ C .

И

(x + 3)(x +1)

2. Вычислить интеграл ∫

dx .

(x2 +1)2

Д

Решение. Решаем методом Остроградского:

Q(x) = (x2 +1)2 ;

Q '(x) = 2(x2 +1) 2x = 4x(x2 +1);

Q

(x) = НОД(Q(x);Q '(x))= x2 +1;

1

б

Q (x) = x2

+1.

2

Так как Q1 (x) и Q2 (x) – многочлены второй степени, то много-

неопределенными

коэффициентами X (x) и Y (x)

имеют пер-

члены с

вую степень.

Зап сываем равенствоА

С

∫

2dx

2

dx = Ax2

+ B + ∫ Cx2

+ D dx.

(47)

(x

+1)

x

+1

x

+1

Для нахожден я коэффициентов продифференцируем (47):

1

A(x2 +1) − (Ax + B) 2x

Cx + D

=

+ x2 +1 .

(x2 +1)2

(x2 +1)2

Записываем равенство для числителей:

1

= A(x

2

+1) −

(Ax + B) 2x + (Cx

+ D)(x

2

+1).

x

=

0 :

1 = A + D;

x = 1:

1 = 2A − 2(A + B) + 2(C + D);

x = −1:

1 = 2A + 2(−A + B) + 2(−C + D);

И

x = 2 :

1 = 5A −

4(2A + B) + 5(2C + D).

Делаем упрощения

Д

A + D =1;

2C + 2D =1;

2B − 2C + 2D =1;

4B +10C + 5D =1.

− 3A −

Сложим второе и третье уравнения:

4D = 2; D = 1 ,

2

из первого уравнения

A = 1− 1 = 1

. Из второго уравнения B = C , а

уравнение

2

2

6C = 0,

поэтому C = 0; B = 0.

четвертое

принимает вид

Равенство (47) пр н маетАвид

С

dx

1 x

1

1 x

1

2

2

2

б= +

dx =

+

arctgx + C.

∫ (x2

+1)2

x

+1

2

x2

+1

∫

x2

+1

2

1 x

1

Ответ:

2

+

arctgx + C .

2

x2 +1

3. Вычислить интеграл ∫

dx

.

(x

3

−1)

2

Решение. Решаем методом Остроградского

Q(x) = (x3 −1)2 ;

Q'(x) = 2(x3 −1) 3x2 = 6x2 (x3 −1);

Q (x) = НОД(Q(x);Q'(x))

= x3

−1;

1

Д

Q

(x)

= x3 −1.

2

Так как Q1 (x)

и Q2 (x) – многочлены третьей степени, то X (x) и

Y (x) – многочлены второй степени снеопределенными коэффициентами.

Выписываем основное равенство

И

∫

dx

=

Ax2 + Bx

+ C

+ ∫

Dx2

+ Ex + F

dx.

3

2

3

3

б

(x

−1)

x

−1

Дифференцируя это тождество, получим

и

−1) − 3x2 (Ax2 + Bx + C)

Dx2

+ Ex + F

1

=

(2Ax

+ B)(x3

+

,

(x

3

−1)

2

3

2

x

3

−1

А(x −1)

ли

С

1

=

x5

D = 0;

x4

E − A = 0;

x3

F − 2B = 0;

x2

D + 3C = 0;

x

2A + E = 0;

C

B + F = −1.

Отсюда A = 0; B = −

Д

1

; C = 0; D = 0; E

= 0;

F = − 2 и, следовательно,

3

А

3

dx

dx

1

x

2

∫

= −

−

3 ∫

. И

(x3 −1)2

3

x3 −1

x3 −1

Для вычисления интеграла

dx

разлагаем подынтегральную

б

дробь на элементарные:

∫ x3 −1

1

=

L

+

Mx + N

,

их частяхПриравниваяравенства (48), получаем

2

x

3

−1

x −1 x

+ x +1

то есть

С

1 = L(x2 + x +1) + (Mx + N)(x −1).

(48)

L =

1 .

Полагая x = 1, получ м 1 = 3L ;

3

коэффициенты при одинаковых степенях x

в обе-

x2

L + M = 0;

x

L − M + N = 0;

C

L − N = 1.

M = −

1

; N = −

2.

3

3

Поэтому

∫

dx

=

1

∫

dx

− 1

∫

x + 2

dx =

1 ln

x −1

−

1 ln(x2

+ x +1) −

x

3

x −1

x

2

−1

3

3

+ x +1

3

6

−

1

arctg

2x

+

1

+ C.

Д

3

3

Теперь

dx

x

1

x2

+ x +1

2

2x +

1

∫

=

+

ln

+

arctg

И+ C.

(x

3

−1)

2

3(x

3

−

1)

9

(x

−1)

2

3 3

3

б

2x +1

Ответ:

x

+

1

ln

x2

+ x +

1

+

2

arctg

+ C .

3(x

3

(x −1)

2

3 3

3

Задачи для самостоятельного решения

1.

2x −

3

dx.

2.

3x + 5

dx.

∫ (x2 − 3x

+ 2)3

2 + 2x

+ 2)2

А∫ (x

3.

∫

dx

.

4. ∫

x3 −1

dx.

2

2

2

2

С

+ x +1)

(x

− 4x + 5)

(x

+1)(x

5. ∫

dx

.

6. ∫

dx

.

(x

+1)

(x

+1)

(x

−

1)

7.

dx

.

8.

x

4 − 2x

2 + 2

dx.

и∫ 2 4

∫

(x

2

−

2x

+ 2)

2

(x

+

1)