Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

7. ∫

8. ∫

+ 4x)

− 2x − x2

9. ∫

3x −1

dx.

10. ∫

x +1

dx.

+ 2x + 5)

+ 2)

Ответы:

1. ln

x + 8

+ C.

3. −

+ C.

9(x − 6)9

arctg

x +

+ C.

7. arcsin

x +

+ C.

Из сказанного вытекает теорема.

Теорема. Интеграл от рациональной функции всегда выражает-

ся через интегралы от элементарных

рациональных дробей I−IV

(см. с. 141) в конечном виде.

Теперь рассмотрим несколько примеров на интегрирование ра-

циональных дробей.

Примеры.

1. Вычислить интеграл

∫

− 5x +12

dx.

(x −

1)(x − 2)(x

+ 3)

. На с. 136 мы получили разложение подынтегральной

дроби на элементарные:

3x2 − 5x +12

− 52

145

2710

x −1

x −

x + 3

(бx −1)(x − 2)(x + 3)

Решение

151

Теперь найдем интеграл:

∫

3x2 − 5x +12

= −

∫

(x −1)(x − 2)(x + 3)

x −1

x −

x + 3

5 ∫ d(x −1) + 14

∫ d(x − 2)

27 ∫ d(x + 3)

= −

5 ln

−1

x −1

x − 2

x + 3

x − 2

x + 3

+ C = ln

(x − 2)28 (x + 3)27

10 ln

(x −1)25

2. Вычислить интеграл

∫

x3 − 2x −1

dx .

(x −

+ 2)

Решение. Используем разложение подынтегральной функции на

элементарные дроби, полученное на с. 137:

Д1 dx 5

− 2x −

−2

−3

∫

−1)

(x +

= −

∫

−1)

dx +

∫

−1

−

∫ (x +

dx +

Вычислить

(x +

−2 dx −

1 ln

x −

−

1 ln

x + 2

∫

9 ∫ xА+ 2 9

27(x

−1)

9 − x − 4x2

x −1

+ C =

+ C.

18(x + 2)

−

27(x + 2)

6(x −1)(x + 2)

x + 2

интеграл

∫

− 2x5 − x3 + 2x

2 + x −10

dx .

−1

152

Решение. Подынтегральная дробь является неправильной, так как степень числителя 6 больше 3 – степени знаменателя. Поэтому выделим целую часть делением многочленов:

Отсюда

− 2x5 − x3 + 2x3 + x −10

x −10

∫

dx = ∫ x

− 2x

dx =

−1

x −1

− 2

+ ∫

x −10

dx.

−1

б.

x −10

Теперь правильную дро ь

x3 −

нужно разложить в сумму эле-

ментарных дро ей:

числителей

Bx + C

x −10

x3 −1

(x −1)(x2 + x +1)

x −1

x2 + x +1

A(x2

+ x +1) + (Bx + C)(x −1)

(x −1)(x2

+ x +1)

Для определен я коэффициентов разложения выписываем ра-

венство для

x −10 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)(x −1).

Из этого равенства получаем:

при х = 1

− 9 = 3A; A = −3;

при х = 0

−10 = A − C;

−10 = −3 − C;

C = 7;

153

при х = –1 −11 = A − 2(C − B);

−11 = −3 − 2(7 − B);

−11 = −17 + 2B;

2B = 6;

B = 3.

Итак,

x −10

− 3

3x + 7

, поэтому

x3 −1 x −1 x2 + x +1

∫

−10

= −3∫

∫

3x + 7

dx.

x −1

−1

+ x +1

Вычислим эти интегралы:

а) ∫

x −1 = t;

∫

= ln

+ C = ln

x −1

+ C;

x −1

= dx.

1 2

3x + 7

б) ∫

+ x +1

= x

+ x

x +

+ x +1

x +

= t;

−

3t + 11

3x + 7

3 t

∫

dx = dt;

= ∫

dt = ∫

dt =

x = t −

+ 4

А2

4 = k;

∫

dt +

∫

= 3

∫

dk + 11

arctg

t2 +

2tdt

= dk.

2 ln

arctg

+ C =

2 ln

arctg

+ C =

154

											1
	3			1	2	3		11		2 x +	2
					2					2 x +

=	2	ln	x +	2	+	4	+		arctg			+ C =
=		ln	x +		+		+		arctg			+ C =
								3		3

= 3 ln

x2 + x +1

+ 11

arctg

+ C.

Нашли, что

x −10

2x +1

∫

= −3ln

x −1

2 ln

+ x +1

arctg

+ C.

x3 −1

Поэтому

− 2x

− x

+ 2x

+ x −10

∫

dx = 4 x

−

3 x

−

3ln

x −

x3 −1

3 ln

+ x +1

+ 11

arctg

+ CД.

виду

4. Вычислить интеграл ∫

− 3x

5x − 3)

Решен е. Прео разуем знаменатель дроби

∫

(x −1)

− 2x +

(xб− 3x + 5x − 3)

Раскладываем подынтегральную дробь в сумму простейших

дробей по

знаменателя:

Cx + D

Ex + F

(x −1)2 (x2

− 2x + 3)2

x −1

(x −1)2

x2 − 2x + 3

(x2 − 2x + 3)2

(x −1)

−

(x2 − 2x + 3)

(x2 − 2x + 3)2

155

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11