Материал: 2231

При х = 2 получаем

3 = A 3 5 + B(5 + (2C + D) 3;

3 =15A + 5B + 6C + 3D;

3 = 15 + 5 0 + 6C − 3 ;

И

2

2

6C = −3;

C = −

1 .

2

Итак,

x +1

=

1

−

x +1

.

Д

x4 −1 2(x −1) 2(x2 +1)

2x − 3

4. Разложить в сумму простейших дробей

.

x4 − x

Решение. Знаменатель дроби нужно разложить на множители

А

2x − 3

=

2x − 3

=

2x − 3

=

A

+

B

+

Cx + D

=

x4 − x

x(x3 −1)

x(x −1)(x2 + x

+1)

x

x −1

x2 + x +1

б

+1) + (Cx + D)x(x −1)

=

A(x −1)(x2 + x +1) + Bx(x2 + x

.

При

Отсюда

2x − 3 = A(x −1)(x2 + x +1) + Bx(x2 + x +1) + (Cx + D)x(x −1).

С

− 3 = −3A;

A =1.

х = 0 получаем

При х = 1 получаем

−1 = 3B;

B = −

1.

3

При х = –1 получаем − 5 = −2A − B + 2(D − C);

− 5 = −2 1+ 1

+ 2(D − C);

3

2(D − C) = −10.

(43)

3

При х = 2 получаем

1 = 7A +14B + 2(2C + D);

И

1 = 7

1

+14 −

3

+ 2(2C + D);

2(2C + D) = −

4.

(44)

Д

3

10

2(D − C)

= −

;

4

.

2(2C − D) = −

3

Сложив равенства, получим

2C = −

14

; C = −

7.

3

3

Теперь D = C

10

А7 5

12

−

6

;

D

= −

3

− 3

;

D

= −

3

; D = −4.

С

б−

7 x − 4

Итак,

2x

− 3

=

1

−

1

+

3

.

x

− x

x

3(x −1)

x

+ x +1

иПо теореме 3 интегрирование всякой правильной рациональной

дроби сводится к интегралам от простейших дробей четырех типов:

I. ∫

dx

;

II. ∫

dx

, α ≠1;

x + a

(x + a)

α

tdt

dt

dk 2

dt

= 3 ln

I = 3

+ 5

= 3

+ 5

k

+

∫ t2 + 6

∫ t2 + 6

∫ k

∫ t2

И

2

Д

+

5

arctg

+ C =

3 ln

+

arctg

t

+ C

=

3 ln

(x

−1)

2 + 6

+

6

6

2

6

6

2

+

5

arctg

x −

1

+ C =

2 ln(x2 − 2x + 7)

+

5

arctg

x −

1

+ C.

6

6

3

6

6

2. ∫

6x − 2

dx

Выделяем полный квадрат в знаменателе :

=

2

x

2

+ 4x = (x

2

+ 4x + 4)

− 4 = (x + 2)

2

− 4

x + 4x

замена

= ∫

6x − 2

x + 2 = t;

=

∫

6(t

− 2) − 2

dt

= ∫

6t −14

= 6∫

tdt

−

(x

+ 2)

2

− 4

dx = dt;

t

2

−

4

t

2

− 4

t

2

−

4

С

x = t − 2.

А

1 d(t2 − 4)

dt

dt

2

2

−14

= 6

б

−14

−

∫ t2 − 4

∫

t2

−

4

∫ t

2 −

4

1

t − 2

7 ln

x