Материал: 2231

B3

... +

Bλe

+ ... +

C1x + D1

C2 x + D2

+

+

+

(x2 + p x + q )2

+

(x − c)3

(x − c)λe

x2 + p x + q

1

1

1

1

CS

x + DS

K

x + M

1

K

2

x + M

2

1

1

1

+ ... +

+ ... +

+

(x2 + pr x + qr )2

+

(x2 + p x + q )S1

x2 + pr x + qr

1

1

+ ... +

KSr x + DSr

,

(x2 + pr x + qr )Sr

И

Д

где Ai , Bi ,Ci , Di , Ki ,Mi – действительные числа.

На практике рациональную дробь раскладывают на элементар-

ные методами, которые мы изложим на примерах.

Примеры.

3x2 − 5x +12

1. Разложить дробь

в сумму элементарных

(x −

1)(x − 2)(x + 3)

дробей.

б

Решение. Выпишем сумму простейших дробей с неопределен-

ными коэффициентами на основании теоремы 3.

3x2 − 5x

+12

=

A

+

B

+

C

=

x

+ 3

(x −1)(x − 2)(Аx + 3) x −1 x − 2

(пр ведем сумму дро ей к о щему знаменателю)

С

A(x − 2)(x + 3) + B(x −1)(x + 3) + C(x −1)(x − 2) .

=

(x −1)(x − 2)(x + 3)

иИз данного равенства видно, что первая и последние дроби сов-

3x2 − 5x +12 = (A + B + C)x2 + (A + 2B − 3C)x

И

+ (−6A − 3B + 2C) .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих

частях равенства, получим систему уравнений

A + B + C = 3;

A + 2B − 3C = −5;

− 6A − 3B + 2C =12.

А

Решив эту систему, найдем

A = − 5 ; B =

14; C =

27.

2

5

10

б

2-й способ (метод частных значенийД). В равенство (40) будем

вместо х подставлять различные значения х и получать уравнения,

связывающие неопределенные коэффициенты. Значения х подбираем

при

ыли максимально простыми:

так, чтобы получающиеся уравнения

•

при х = 2 уравнен е (40) имеет вид

С

3 22

− 5 2 +12 = A 0 + B(2 −1)(2 + 3) + C 0;

14 = 5B;

B = 14

;

•

х =1

5

3 12 − 5 1+12 = A(1− 2)(1+ 3) + B 0 + C 0;

10 = −4А; А = − 5

;

2

3 32 − 5 3 +12 = A 0 + B 0 + C(−3 −1)(−3 − 2);

54 = 20С;

С =

27.

И

10

Теперь мы можем выписать сумму простейших дробей:

5

14

27

3x2 − 5x +12

−

Д

(x −1)(x − 2)(x + 3)

=

+

x − 2

+

x + 3

.

x −1

x3 − 2x −1

А

2. Разложить дробь

(x −1)2

(x

+

2)3

на элементарные.

Решение. По теореме 3 имеем

x3 −

2x −1

A

B

C

D

E

б

2

3

=

+

2

+

+

2

+

3

=

(x −1)

(x + 2)

x −1

(x −1)

x + 2 (x + 2)

(x + 2)

и

2)3 + C(x −1)2 (x + 2)2 + D(x −1)2 (x + 2) + E(x −1)

=

A(x

−1)(x +

2)3

+ B(x +

2

.

(x −1)2 (x +

2)3

Вып сываем равенство для числителей:

x3 − 2x −1 = A(x −1)(x + 2)3 + B(x + 2)3 + C(x −1)2 (x + 2)2 +

+ D(x −1)2 (x + 2) + E(x −1)2 .

(41)

При х =1 получаем

13 − 2 1 −1 = A 0 + B 33 + C 0 + D 0 + E 0;

С

27B = −2; B = −

2

.

27

+ 9E = −5; E = −

5.

И

9

Теперь продифференцируем обе части равенства (39):

3x2 − 2 = A(x + 2)3 + 3A(x −1)(x + 2)2 + 3B(x + 2)2 +

+ 2C(x −1)(x + 2)2 + 2C(x −1)2 (x + 2) + 2D(x −1)(x + 2) +

+ D(x −1)2 + 2E(x −1).

А

(42)

При х = 1 получаем

б

3

2

3

2

1

− 2 = A 3 +Д3B 3 ;

При

3

2

1

1 =

3

A + 27 −

27

;

A =

9

.

х = –2 получаем

С

3 (−2)2 − 2 = (−3)2 D +

2(−3)E;

10 = 9D − 6E;

5

D =

20

.

10 = 9D − 6 −

9

;

27