Материал: 2231

Так как ∫d(uν ) = uν + C , то получаем

∫udν = uν − ∫νdu.

(39)

n

n

И

1.

x sinxdx.

2.

x

cosxdx.

∫

∫

u

u

3.

xn ax dx.

4.

∫

xn log

xdx.

∫

a

u

u

5.

∫

xn arctgxdx.

6.

∫

xn arcctgxdx.

Д

u

u

7.

∫

xn arcsinxdx.

8.

∫

xn arccosxdx.

u

u

9.

∫

ex cosxdx.

10.

ex sinxdx.

∫

u

А

u

В нтегралах (1−10) указано, какую часть интеграла следует при-

нять за u(x) .

б

хема выч слен я

нтегралов по частям состоит в следующем.

начала нтеграл разб

вается на части u(x) и dν (x) . Затем вычис-

ляютсяиdu = u'(x)dx ν (x) = ∫dν (x) . Теперь можно применить фор-

мулу (39).

С

1.

x sin xdx

u = x du = dx;

=

∫

И

u

dν

dν = sin xdx ν = ∫ dν = ∫sin xdx = − cos x

= x

(− cosx) −

− cosxdx

= −xcosx +

∫

cosxdx

= −xcosx + sinx + C.

∫

u

ν

ν

du

Д

Заметим, что при вычислении интеграла ν (x) = ∫dν (x)

константу

опускают.

2.

x2 sin xdx

u = x2

du = 2xdx;

=

∫

dν = sin xdx ν

= ∫sin xdx = − cos x

u

dν

= x2 (−cos x)

−

∫

− cos x 2xdx = −x2 cos x + 2

xcos xdx .

∫

б

u

dν

Получившийся после применения формулы (39) интеграл более

простой, но еще не та личный и для его вычисления нужно еще раз

применить формулу (39).

и

=

u

= x du

= dx;

2

А= −x cosx + 2(xsinx − ∫sinxdx)=

dν = cosxdx ν = ∫ cosxdx = sinx

С

∫

= −x2cosx + 2(xsinx

+ cosx)+ C.

Замечан е.

Вместо xn в интегралах, вычисляемых по частям

(1−10), с. 124),

может быть многочлен любой степени:

3.

∫

(3x2

−

6x

+

7)sinxdx =

u = 3x2

− 6x + 7

du = (6x − 6) d x;

=

dv = sinxdx v = ∫sinxdx = −cos x

u

dν

= (3x2 − 6x + 7)(−cosx) −

(−cosx)(6x − 6)dx =

= −(3x2 − 6x + 7)cosx + 6

u = x −1; du = dx;

(x −1)cosxdx =

dv = cosxdx;

=

∫

u

dv

v = ∫ cosxdx = sin x

= −(3x2 − 6x + 7)cosx + 6((x −1)sinx − ∫sinxdx)

= −(3x2

И

−

6x +

7)cosx +

+ 6(x −1)sinx + 6cosx + C = −(3x2 − 6x +1)cosx + 6(x −1)sinx + C.

4.

∫

(3x

−1)cos7xdx =

u

dv

u = 3x −1 du = 3dx;

А3

1 sin7x

dv = cos7xdx

=

v = ∫cos7xdx

=

1

∫cos7xd(7x) =

=

sin7x

1

7

sin7x

3

7

= (3x −1)

−

∫sin7x

3dx = (3x −1)

−

∫sin7xd(7x) =

7

7

7

49

= (3x −1)

sin7x

−

3

cos7x + C.

Д

7

49

и

5.

x

2

e

3x

dx

u = x

2 du = 2xdx;

3x

= x

2 e3x

−

e3x

2xdx =

∫

dv = e3xdx v =

∫

e3xdx = e

3

∫ 3

u

dv

u

= x

du = dx;

3x

3x

3x

3x

С

2

e

2

e

e

2 e

2

3x

3x

− ∫

= x

−

xe

+

= dv = e3xdx vб= e = x −

x

3

3

dx

3

9

3

3

3

2 3x

3x x2

2

2

+

e + C = e

−

x

+

+ C.

27

3

9

27

6.

x 7x dx

u = x du = dx;

7

x

= x

7x

−

∫

7x

dx =

x

x

∫

dv

= 7

dx v = ∫

7

dx =

ln 7

ln 7

u

dv

ln 7

=

x 7x

−

7x

+ C.

И

ln7

ln2 7

1

dx;

dx

7.

∫

log

xdx

u = log8 x du =

= x log

x −

∫

x

=

x ln 8

x ln 8

8

8

u

dv

dv = dx v = ∫ dx

= x

Д

= xlog8

x −

1

∫dx = xlog8 x −

1

x + C.

ln8

ln8

1

8.

∫

(7x3 + 3)ln xdx

u = ln x du

= x dx;

x4

=

dv = (7x3 + 3)dx v = ∫(7x3 + 3)dx = 7

+ 3x

u

4

=

7

x

4

+ 3x

7

x

4

dx

=

7

x

4

+

7

x

3

4

ln x −

∫

4

+ 3x

4

3x ln x − ∫

4

+ 3 dx =

x

7

4

7

4

=

x

+ 3x

ln x −

x

+ 3Аx + C.

4

16

С

бu = arctgx du =

dx

;

xdx

9.

∫ arctgxdx =

1+ x2

= xarctgx

− ∫

1+ x

2

=

dv = dx v = ∫ dx = x

dx

2

1

2

и1 d (x +1)

= xarctg x

−

2

∫

1 + x

2

= xarctg x

−

2

ln(1

+ x

) + C.

u = arcctgx du =

− dx

;

x

2

−

x2

dx

10. ∫ xarcctgxdx

1

+ x22

arcctgx − ∫

2

=

=

2

1+ x

2

dv = xdx v = ∫ xdx =

x

u

2