Материал: 2231

10. ∫

cos 2x

dx = ∫ cos2 x − sin2

xdx =

cos x + sin x

cos x + sin x

= ∫ (cos x − sin x)(cos x + sin x)dx = ∫ (cos x − sin x)dx = sin x + cos x + C.

cos x + sin x

И

х3

− 8

dx = ∫ (

− 2)(

x2

+ 2

+ 4)dx = −∫(x + 2x 12

11.∫

x

x

+

2 −

х

2 −

x

2

2x

3

2

2

4

+ 4)d x = −

x

+ 4x

+ C

x

x x

+ C.

+

+

2

32

= −

2

3

+ 4x

А

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

8

2

7

1.∫

3cos x − 7

x +

x

dx .

2.∫

2

−

2

dx .

Д3 + x 4 − x

3. ∫ (3 − 2x + 7x2 + 8x10 )dx .

4.∫

dx

.

6x2 + 8

dx

5.∫

.

6.

1− x

2

+

1+ x

2

dx .

2

2

x (x

+1)

∫

1− x4

С

б3

cos 2x

2

7.∫ (x

+ 3)

dx .

8.∫

cos x − sin x

dx .

x

− 37

x

+1

x3 +1

9.

и

dx .

10.

∫

dx.

∫

5

x

x +1

Ответ:

2

x

+ 7 ln

x − 2

1

+ C.

2.

arctg

+ C.

4.

ln

x +

x2 +

4

x + 2

3

3

4

6

3

5.−

1

− arctg x + C.

8. sin x − cos x + C.

x

§20. Замена переменных в неопределенном интеграле

Подведение под знак дифференциала

Метод основан на применении следующей теоремы.

Теорема (о подстановке под знаком неопределенного интегра-

ла). Пусть функция

f (u)

на множестве

[a,b]

имеет первообразную

F(u).

Пусть u = ϕ(x)− функция,

И

имеющая на [c,d]

производную и

принимающая на этом сегменте значения, не выходящие из [a,b]. То-

гда верна формула

∫ f (ϕ(x)) ϕ'(x)dx =ДF(ϕ(x))+ C .

(37)

Схема применения метода подведения под знаком дифферен-

циала

состоит

в

следующем.

Пусть

надо

вычислить

интеграл

∫

g(x) dx , который не сч тается непосредственно с использованием

А

табл цы. Тогда этот

нтеграл прео разуют:

∫ g (x) d x = ∫ f (ϕ (x)) ϕ '(x) d x = ∫ f [ϕ (x)]d ϕ (x) = ∫ f (u) d u,

б

где u = ϕ (x) .

Используем также свойство неопределенных интегралов: если

известнозначениеинтеграла ∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x)

– диффе-

ренцируемая функция, то

∫ f (u)du = F(u) + C .

Интеграл

∫ f (u)du ,

полученный после подведения под знак

дифференциала, должен получиться проще исходного интеграла для

Свычислений. После нахождения его первообразной F(u) выписывает-

F(ϕ(x))+ C .

Примеры.

Вычислить неопределенные интегралы подведением под знак

дифференциала.

И

Решения.

1

1 ∫ cos7xd(7x) =

= 1

1.∫cos7xdx =

∫cos7x 7dx =

u = 7x

∫ cosudu =

7

7

7

=

1 sinu + C =

1 sin7x + C.

7

7

2.∫

x3dx

=

1

∫

4x3dx

=

1

∫

dx4

=

u

= x

4

=

1

∫

du

=

8

4 2

4 2

2

1+ x

4

1+ (x

)

А

4 1+ u

4

1

+ (x

)

=

1 arctgu + C =

1 arctgx4 + C.

4

4

б

3.

∫

dx

=

1

∫

3dx

=

1

∫

d(3x + 2)

u = 3x + 2

=

1

∫

du =

2 + 3x 3

3x + 2 3

3x + 2

Д3 u

=

1 ln

u

+ C =

1 ln

3x + 2

+ C.

3

3

cosx

dsinx

= ∫ du

4.∫ctgxdx = ∫

dx = ∫

=

u = sinx

= ln

u

+ C =

С

sinx

sinx

u

= ln

sinx

+ C.

dx

1

1

1

1

dx

dx

5.

∫

=

∫

−

dx

=

∫

− ∫

=

2

2

− a

x − a

x + a

иx − a 2a x

x + a

2a

=

1

d(x − a)

− ∫

d(x + a)

=

1

(ln

x − a

− ln

x + a

)

+ C =

∫

2a

x − a

x + a

2a

1

x − a

+ С.