Материал: 2231

t = a x + b;

f (t) dt =

1

И

∫ f (a x + b)dx =

dt

= a dx;

= ∫

∫ f (t )d t = 1

F(t )

+ C =

dx =

1 dt

a

a

a

a

= 1 F(a x + b)+ C ,

Д

a

F(t)

– первообразная для функции f (t).

Получили формулу линейной замены переменных

∫ f (a x + b)dx =

1

F(a x + b)

+ C .

(38)

a

б

Формулу (38) можно использовать для устного вычисления ин-

тегралов, вычисляемых с помощью линейной замены.

и

Замены переменных в неопределенном интеграле

Пр меры.

А

Выч сл ть неопределенные интегралы методом замены пере-

менных.

С

Решен я.

1.∫

3x2

+ 6x +1

d x =

x3 + 3x2 + x + 5

= t;

= ∫

d t

= ∫t

−2

3 d t =

3

3

2

2

dt = (3x2 + 6x

+1) dx.

3 t2

t 13

(x

+ 3x

+ x +

5)

3

2

=

+ C = 33 t + C = 33

x

+ 3x

+ x + 5 + C.

1

3

2.∫ tgxdx = ∫

sinx

dx

cosx = t;

= −∫ dt

= −ln

t

+ C = −ln

cosx

+ C.

cosx

dt = −sinxdx.

t

x d x

t = x2 + a;

1

∫ dt

1 ln

1 ln

3.∫

=

dt = 2xdx;

=

=

t

+ C =

x2 + a

+ C.

2

x

+ a

xdx = dt .

2

t

2

2

2

6sinx − 3

= t;

Д

dt

1

1

4.∫cosx

6sinx − 3

d x =

dt = 6cosx dx;

= ∫

t

=

∫t 2 d t =

cosx dx = dt .

6

6

И

6

1

t 32

1

А

=

+ C =

(6sinx − 3)3

+ C.

9

6

3

2

б

1

tgx

3

2

5.∫ tg

xdx =

∫ tgx tg

xdx = ∫ tgx

−1 dx =

∫

− tgx

dx =

2

x

2

x

cos

cos

sinx

sinx

cosx

= t;

1

1

1

=

∫

−

dx =

= −∫

−

dt

=

+ ln

t

+ C =

3

dt = −sinxdx.

3

2

cos

x

cosx

t

t

2t

=

1

+ ln

cos x

+ C.

2cos2 x

С

1

6.∫

dx

= ∫

dx

t = x

;

1

= −∫

dt

=

2

2

иx 1+ x x2

1

+1

dt = −

dx.

t

+1

2

x2

x

1

= − ln

t +

+ C = −ln

1

t2 +1

+

+1

+ C.

x

x2

t =

;

1+ ex

dt =

exdx

2tdt