Материал: 2231

б

∫ Af(x)dx = A∫ f(x)dx.

Если

Действительно,

С

(A∫ f (x)dx)'= A(∫ f (x)dx)'= Af (x).

5.

∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x)

– дифференцируемая

Решения.

1. ∫ (3x2 + 4sin x)dx =∫3x2dx + ∫ 4sin xdx = 3∫ x2dx +

x3

И

+ 4∫sin xdx = 3

− 4 cos x + C = x3 − 4cos x + C (использованы свой-

ства 3, 4).

3

2. По свойству 5 получим новые интегралы на основании инте-

∫

x

Д

грала ∫3x2dx

= x3

+ C :

а) пусть u(x) = sin x , получаем

∫3sin2 x d sin x = ∫3sin2 x cos x d x = sin3 x + C ;

б) пусть u(x) = ln x , получаем

б

3ln

2

x d ln x

=

∫3ln2

x

d x = ln

3

x + C ;

в) пусть u(x) = x

4

+ 7 , получаем

таблицу

2

3(x

4

+ 7)

2

d(x

4

3

4

= (x

4

+ 7)

3

+ C

∫

∫

так далее.

С

§19. Табл ца основных интегралов

целью облегчения вычисления неопределенных интегралов

составляют

простейших интегралов. Строгого критерия, ка-

1.

∫0dx = C .

Таблица интегралов

2.

∫1dx = ∫dx = x + C .

3.

∫ x

n

dx

=

xn+1

+ C,

n

≠ −1.

n +1

И

4. ∫ dx

= ln

x

+ C, x ≠ 0.

x

ax

5.

∫ax dx =

+ C, a > 0, a ≠1;

ln a

∫ex dx = ex

+ C .

6.

∫cos xdx = sin x + C .

7.

∫sin xdx = −cos x + C .

8.

∫

dx

= tgx + C .

cos2 x

9.

∫

dx

= −ctgx + C .

2

x

sin

10.

dx

=

1 arctg

x

+ C = −

1 arcctg

x

+ C,

a ≠ 0 .

∫ x

2 + a2

a

a

a

Дa

11. ∫

dx

1

x − a

+ C,

a ≠ 0, x ≠ ±a .

=

ln

x

2

2

2a

x + a

− a

и

12.

dx

= arcsin

x

+ C = −arccos

x

+ C,

x

< a, a ≠ 0 .

∫

a2 − x2

Аa a

dx

13.

∫

= ln

x +

x

2

+ a

+ C,

a ≠ 0, x ≠ ± − a .

x2

+ a

ы получаются непосредственно из таблицы

С

Формулы 1аблц−9 т

про зводных простым обращением соответствующих формул. На-

пример, зная формулу

(x)′ = 1, получаем интеграл ∫1dx = ∫dx = x + C ;

из формулы (ln x)′ = 1x

получаем ∫ dxx = ln

x

+ C,

x ≠ 0 и т.д.

1

1

1

1. ∫(

− 3

+ 22x )dx = ∫(x2 − 3

x3 + 4x )dx = ∫ x2 dx −

x

7x

7

1

− 3

∫ x3 d x + ∫4x d x =

7

x3

2

x

43

4x

2

33

4x

7

=

−

3 7

+

+ C

=

x x −

x3

x

+

+ C.

3

2

4

3

ln4

3

4

ln4

x3

− 3x + x2x

−1

2

x

1

2

2.

∫

dx =

∫

(x

−

3 + 2

−

)dx

=

∫

xИdx − 3 dx +

x

x

∫

+ ∫ 2x d x − ∫ 1 d x

=

x3

− 3x +

2x

− ln

x

+ C.

x

3

ln2

Д

dx

sin2 x + cos

2 x

1

1

3. ∫

= ∫

2

2

dx =

∫

+

dx =

sin

2

xcos

2

x

sin

xcos

x

2

x

sin

2

cos

x

= tgx − ctgx + C.

А

4.

∫

5

+ 3x2

dx =

∫

5 + 3x2

dx =

∫

x2 + (5 + 2x2 )

dx =

5x

2

4

2

2

x

2

(5 + 2x

2

)

+ 2бx x (5 + 2x )

x2

dx

5 + 2x2

dx =

dx

dx

1

dx

= ∫

+ ∫

∫

+ ∫

2

=

∫

+

2

2

2

2

2

5

x (5

+ 2x )

x (5

+ 2x )

5 + 2x

x

2

2

и

x

+ 2

1

1

x

x−1

1

x −

1

+ ∫ x−2dx =

arctg

+

+ C =

arctg

2

+ C.

2

x

10

С

52

5

2

−1