Материал: 2231

2x

u =

x2

− a2

du =

dx;

12.I =

x2

− a2 dx

= x x2 − a2 −

2 x

2

− a

2

∫

dv = dx v = ∫ dx = x

u dv

x

(x2 − a2 ) + a2

− ∫ x

dx =x

x2 − a2

− ∫

dx = x

x2 − a2

−

x2 − a2

x2 − a2

dx

− I − a2 ln

− ∫

x2 − a2

dx − a2 ∫

= x

x2 − a2

x +

x2 − a2

.

x2 − a2

Этот интеграл также является циклическим. Получаем

− a2 ln

x +

− I.

I = x

x2 − a2

x2 − a2

И

Находим искомый интеграл

1

2

2

2

Д2 2

I =

2 (x x

− a

− a

ln

x +

x − a

)+ C.

ln x

u = ln x du = dx ;

x

13.∫

dx =

А

1

=

2

(1+ x)

dv

=

1

dx v = ∫ (1+ x)−2 d(1+ x) = −

(1

+ x)

2

1+ x

ln x

б

1

1

1

1

ln x

= −

− ∫−

dx

= −

+ ∫

−

dx =

1 + x

1

+ x

x

1 + x

x +1

x

lnиx

= −

+ ln x

− ln x +1

+ C.

1 + x

С

u = arctg

du =

1

dx

;

x

dx

x

14.

arctg

xdx

1

+ x

= xarctg

x −

=

∫

2

x

∫1

+ x

2 x

dv = dx v = ∫ dx = x

замена t =

;

t2

2tdt

(t2

+1) −1

x

=

= xarctg

x

− ∫

=xarctg

x − ∫

dt =

x = t2 ; dx = 2tdt

1+ t

2

2t

t

2

+1

1

= xarctg

x − ∫ 1

−

dt = xarctg

x

− t + arctgt + C = xarctg

x −

1

+ t

2

−

+ arctg

+ C = (x +1)arctg

−

+ C.

x

x

x

x

15. ∫ arcsin

2

x d x =

u = arcsin2 x, d u =

2

arcsin

x

d x;

2

1− x2

d v = d x, v = x

И= x arcsin x −

б

d x

u

= arcsin x d u =

;

2arcsin x

1− x

2

−

∫ x

d x

=

Д

=

d v

2 x d x

2 x d x

= −∫ d (1− x2

)

1− x 2

=

, v = ∫

= −2

1− x2

Вычислить

− x2

1

− x2

1− x2

1

2

А

1

2

2

= x arcsin

x

−

− 2

1− x

arcsin x − ∫ −

2

1− x

=

1

− x2

d x

= x arcsin2 x + 2

1− x2 arcsin x − 2 x + C.

Задачи для самостоятельного решения

по частям.

интегралы,

используя формулу(39) интегрирования