Материал: 2231

ax + b

p2

Найдем ∫

dx;

− q < 0.

Выделим в числителе дро-

x2 + px + q

4

би производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

ax + b = (2x + p) a

− ap + b.

2

2

Тогда

ax + b

a

2x + p

ap

dx

∫

dx =

∫

dx +

b −

∫

.

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

x

2

+ px

+ q

2

∫

x2 + px + q = k;

= ∫ dp = ln

p

+ C = ln

x2 + px + q

+ C.

2

dk = (2x + p)dx.

p

Д

Вычислим второй:

p

dx

dx

d x +

2

∫

= ∫

= ∫

=

x

2

+ px + q

p

2

p

2

p

2

p

2

А

x

+

2

+ q

−

4

x +

+ q −

4

2

2

б2x + p

=

arctg

+ C.

4q − p

2

4q

− p

2

и

С

3x −1

3

(2x − 4) −1+ 6

= 3 ∫

1. ∫

dx = ∫

2

dx

+

2

2

2

x − 4x + 8

x − 4x + 8

2 x

И

−

4x +

8

+

5∫

=

3

ln

x

2

−

4x + 8

+

5∫

dx

=

3

ln

x

2

−

4x + 8

+

x

2

−

4x

+ 8

2

(x − 2)

2

+ 4

2

+

5 arctg

+ C.

3

3

Д

2

2

2. ∫

xdx

=

1

(4x + 2)

−

1

dx

=

1

(4x

+ 2)dx

−

∫

2

∫

4

2x

2

+

2x + 5

2x

2

+

2x

+ 5

4

2x

2

+ 2x

+ 5

dx

А

dx

1

1

2x

2

+ 2x + 5

1

−

2

∫

2x2 + 2x + 5

=

4 ln

−

2

∫ 2((x + 12)2 + (32 )2 )=

=

1

ln

2x

2

+

2x + 5

−

1

1

arctg

x + 12

+ C =

1

ln

2x

2

+

2x + 5

−

4

4

(

2 )

( 2 )

4

жени

a

ap

−

1 arctg

2x

+

1

+ C.

6

3

ax + b

p

2

IV. Дро ь

∫

(x

2

n

dx,

n ≠ 1,

4

− q < 0

находится мето-

дом пон

я степени,

с

спользованием формулы интегрирования

по частям.

б

Выдел м в ч сл теле производную от квадрата трехчлена,

стоящего в знаменателе:

ax + b

(2x + p) + b −

∫

dx = ∫

2

2

dx =

(x

2

+ px + q)

n

(x

2

+ px + q)

n

Сa

(2x + p)dx

ap

dx

=

∫

+ b −

∫

.

2

(x

2

+ px

+ q)

n

2

(x

2

+ px + q)

n

x2

+ px + q = k;

dk = (2x + p)dx.

(2

dkn

1

И

∫

=

∫

=

+ C.

2

n

(1− n)(x

2

+ q)

n−1

(x + px + q)

k

+ px

dx

=

dx

=

x +

p

= t;

=

2

∫ (x2 + px + q)n

∫

p

p 2

n

dx = dt.

x +

+ q −

= ∫

dt

a2 = q −

p2

= ∫

dt

.

2

2

4

(t

+ a

)

t

+ q −

б

Д

2