Материал: 2231

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Процесс нахождения коэффициентов разложения здесь пропущен. Расчет необходимо произвести самостоятельно.

Теперь

∫

−

∫

−

∫

(x − 3x + 5x

− 3)

4 (x −1)

4 x

− 2x + 3

−

2x + 3)

= −

1 1

−

∫

−

∫

x −1 = t;

x −1

(x −1)

+ 2

((x

−1)

+ 2)

dx = dt.

= −

−

∫

−

∫

= −

−

arctg

−

4 x −1

+ 2)

4 x −1

+ 2

− 1

∫

= −

−

arctg

−

4(t

+ 2)

4(x −1) 4 2

2 8(t

+ 2)

1 1

−1

x −1

−

arctg

+ C = −

4(x −1)

−

Дarctg −

8((x −1)2 + 2)

−

Решение

−

arctg

−1

+ C = −

−

x −1

−

arctg

x −

+ C.

8 2

А4(x −1) 8(x − 2x + 3) 8 2

Замечан е. Оп санная методика обладает общностью,

но в о т-

дельных случаях рассматр ваемый интеграл может быть вычислен

знач тельно проще с помощью тех или иных приемов.

5. Выч сл ть

нтеграл

∫

6x2

+ 5x + 4

dx.

x3 + x2

+ x

∫

6x2 + 5x

+ 4

dx = ∫

6x5 + 5x4 + 4x3

dx =

x6 + x5 + x4 = t;

+ x

dt = (6x5

+ 5x4 + 4x3 )dx.

Сdt

+ C

= ln

+ x

+ C.

∫

= ln

156

6. Вычислить интеграл

∫

xdx

2x4 − 2x2 +1

Решение.

xdx

2xdx

2x2 −1 = t;

∫

= ∫

4xdx = dt;

∫

arctgt + C =

−

(2x

−1)

2xdx = dt .

1 arctg(2x2 −1) + C.

− x

7. Вычислить интеграл ∫

+ x

dx .

−1

Решение. Заметим, что

x7 + x4 − x3 +1

x3 (x4

−1) + (x4

+1)

−1

−1)(x

+1)

−1

(x2 −1)

1 (x

1) −

−

−1)(x

+1)

−1

Поэтому

+ x

− xб+1 x3

∫

dx +

∫

−

∫

−1

замена в первом интеграле :

1 ln

x −1

1 arctgx =

x4 +1 = t;

= ∫

−

x +1

4x3dx = dt.

x −1

С= ln

−

arctgx + C.

x +1

157

В последних трех интегралах вычисления получились достаточно простыми, в то время как вычисление интегралов как полное разложение подынтегральной дроби в сумму простейших дробей было бы громоздким.

Задачи для самостоятельного решения

2x + 5

dx.

x2 − 5x + 3

1.∫

2.∫

dx.

x2 − 6x + 8

x(x2 −1)

2x5 − x4 − 3x2 +1

(x2 − 3x + 2)(x − 3)

dx.

− 6

dx.

∫

∫ x2 + x

∫

x3 +1

x(x +1)2

∫

x2 − 8x + 7

dx.

∫

+ 2x

+ 9

−И3x −10)

x4 + 2x2 + 9

dx.

10.

x5 + 7x3 − 8x

dx.

∫

(x −1)(x

+ 3)

∫

3x + 22

Ответы:

1. ln

− 6 x + 8

+ 11ln

x − 4

+ C.

4. 3 ln

x − 2

− 3 ln

x + 3

+ C.

обозначения

x − 2

+ ln

+ C.

−

x − 5

+ C.

1 + x

x +1

49(x

− 5)

49(x + 2)

343

x + 2

§23. Метод Остроградского

Метод Остроградского интегрирования рациональных функций

спользуется в с туац ях, когда знаменатель дроби имеет кратные

корни.

Введем

P(x)

− правильная рациональная дробь;

Q(x)

Q1 (x)

− наибольший общий делитель (НОД) многочлена Q(x) и

его производной Q'(x);

Q2 (x) = Q(x) : Q1 (x).

158

Запишем равенство интегралов

∫

P(x)

dx =

X (x)

+∫

Y (x)

dx,

(46)

Q1 (x)

Q 2 (x)

Q (x)

где X (x) и Y (x)

− многочлены с неопределенными коэффициентами,

степени которых соответственно на единицу меньше степеней Q1 (x)

и Q2 (x).

X (x) и Y (x) вы-

Неопределенные коэффициенты многочленов

числяются при помощи дифференцирования тождества (46).

Примеры.

5x2 + 6x + 9

1. Вычислить интеграл

∫

dx .

(x − 3)

(x +1)

Решение. Решаем методом Остроградского

Q(x) = (x − 3)2 (x +1)2 ;

Q'(x) = 2(x − 3)(x +1)2 + 2(x − 3)2 (xД+1) = 2(x +1)(x − 3)

и2

2(x +1)(x − 3)(2x −

2);

((x +1)

+ (x − 3)) =

Q1 (x) = НОД(Q(x);Q'(Аx))= (x − 3)(x +1);

Q (x) =

(x − 3)2

(x +1)2 : (x − 3)(x +1) = (x − 3)(x +1).

Так как Q1 (x)

Q2 (x)

– многочлены второй степени, то X (x) и

Y (x) – многочлены первой степени. Запишем теперь равенство (46):

∫

5x + 6x + 9

Ax + B

∫

Cx + D

dx.

− 3)

+1)

(x − 3)(x +

(x − 3)(x +1)

159

Для нахождения неопределенных коэффициентов продифференцируем равенство

5x2 +

6x + 9

A(x − 3)(x +1) −

(Ax + B)(2x − 2)

Cx + D

(x − 3)2

(x +1)2

(x − 3)2

(x +1)2

(x − 3)(x +1)

Равенство для числителей имеет вид

5x2 + 6x + 9 = A(x − 3)(x +1) − (Ax + B)(2x − 2) + (Cx + D)(x − 3)

(x +1).

Теперь при различных значениях x получаем

= 3:

72 = −4(3A + B);

x = −1:

8 = 4(−A + B);

x = 1:

20 = −4A − 4(C + D);

0 :

9 = −3 + 2B − 3D.

Получим систему

3A + B = −18;

A − B = −2;

A + C + D = −5;

3A − 2B + 3D = −9.

Из первых двух уравнений, складывая их, получим

4A = −20;

A = −5; B = −3.

Теперь последние два уравнения имеют вид

C + D = 0;

3D = 0.

Поэтому C = 0;

D = 0.

160

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11