Материал: 1973

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

откуда
dv dx1 sin ,	(2.1)
w dx1 cos (w dw) dx 0,
откуда
dw dx1 cos dx.	(2.2)

2.1.2. Уравнения равновесия

Проектируя силы, действующие на отрезок dx1 на оси координат (см. рис.2.1), и рассматривая момент сил относительно точки В1, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка малости, получаем три уравнения равновесия в неподвижной системе координат

N qx dx (N dN) 0,

откуда

dN qx dx.

Qz qz dx (Qz dQz ) 0,

откуда

dQz qz dx.

M y Qz dx1 cos N dx1 sin M y dM y 0,

откуда

dM y (Qz cos N sin ) dx1 .

2.1.3. Физические зависимости

Рассмотрим подробно деформации и напряжения в выделенном элементе после нагружения.

Рис. 2.2. Изменение линейных размеров элемента стержня после нагружения

Деформация оси, отстоящей на расстоянии z от нейтрального слоя (рис.2.2)

x	dx1	dx	dw z d	dw	z	d	.
	dx		dx	dx		dx

По закону Гука

x x .

Приравниваем полученные выражения. После преобразований получаем

z E

Нормальная сила в сечении после нагружения

N1 x dy dz E

dy dz E

z dy dz

A E

S y .

Поскольку оси в сечении центральные, то Sy = 0, т.е.

N1 EA dwdx .

С другой стороны, N1, Q1 есть сумма проекций N и Qz на оси X1 , Z1 (см. рис.2.1)

N1 N cos Qz sin , Q1 Qz cos N sin .

Приравниваем полученные выражения и после преобразований

dw (

N cos Qz sin

)

dx.

Но при z =0

dx1=dx+dw, следовательно,

dx1 (1

N cos Qz sin

)

dx.

(2.3)

Момент сил в сечении после нагружения

M y z x dy dz E

z dy dz E

z 2 dy dz

S y E

J y.

Поскольку оси центральные,

M y E J y ddx .

Следовательно,

d M y dx . EJ y

Учитывая полученные выражения для N1 и My, запишем формулу распределения нормальных напряжений в сечении стержня в виде

x ( y, z)	N1	(x)	y	M x (x)	.
	F			J y

2.1.4. Полная математическая модель плоского изгиба и растяжения прямого стержня при больших перемещениях

Подставляя выражение (2.3) в (2.1), (2.2), после элементарных преобразований получаем систему дифференциальных уравнений для определения параметров v, w, , N, Qz, My

N cos Qz

sin

) sin ,

N cos Qz sin

) cos 1 ,

(2.4)

dQz

dM y

(N sin Qz cos ) (1

N cos Qz sin

) ,

M y

EJ y

Система шестого порядка не линейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решений в элементарных функциях.

Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня на каждом известны три условия:

-жесткое закрепление v = 0, w = 0, = 0;

-шарнирно-неподвижное закрепление My = 0, v = 0, w = 0;

-шарнирно-подвижное закрепление My = 0, v = 0, N = 0;

-свободный конец My = 0, Qz = 0, N = 0 и т.д.

2.1.5. Математическая модель плоского изгиба и растяжения прямого стержня при малых прогибах

При	малых углах	поворота	сечений	принимаем
cos 1,	sin .
Для жестких материалов величины N (EA) и Qz (EA) много
меньше единицы. Например,		для сталей	различных	марок С 235 ‒

С 345, в пределах прочности, значения нормальных и касательных напряжений N/A, Qz/A не могут превышать 2 350 ‒ 3 450 кгс/см2, а модуль нормальной упругости (модуль Юнга) Е=2 100 000 кгс/см2. Таким образом, N(EА) и Qy (EА) < 0,01.

C учетом сказанного система дифференциальных уравнений (2.4) упрощается и принимает вид

dv	,
dx	,
dx
dw			N Qz			,
dx			EA			,
dN	q x ,
dx	q x ,					(2.5)
dx
dQz
dQz		q		,
		q		,
dx			z
dx
dM y			N	Qz ,
dx			N	Qz ,
dx
d			M y		.

dx			EJ y
dx			EJ y

Если рассматривать случай поперечного изгиба, система 5 упрощается

dQz q z , dx

dM y	Qz ,
dx

d	M y	,
dx	EJ y

dvdx .

Таким образом, из системы уравнений 6 следует, что угол поворота является производной первого порядка от функции вертикальных перемещений. Изгибающий момент – производной второго порядка от вертикальных перемещений и первого порядка от углов поворота. Поперечная сила – производной третьего порядка от вертикальных перемещений, второй от угла поворота и первой от изгибающих моментов.

Если же рассматривать случай растяжения сжатия, то система 5 упрощается и принимает вид

dwdx EAN , dNdx q x .

(2.6)

(2.7)

2.2. Общий алгоритм численного решения методом начальных параметров

Численное решение систем уравнений состояния как при больших (2.4), так и при малых перемещениях (2.5) выполняется в среде MS Excel путем поиска неизвестных начальных параметров, удовлетворяющих граничным условиям. Поиск начальных параметров производится с помощью встроенной процедуры «Поиск решения», где, на выбор расчетчика, может быть задействован один из двух алгоритмов оптимизации — метод Ньютона или сопряженных градиентов.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ